Question

【題目】定義，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

概念理解：如圖②，在四邊形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，那么四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．

性質探究：如圖①，垂美四邊形ABCD兩組對邊AB、CD與BC、AD之間有怎樣的數量關系？寫出你的猜想，并給出證明．

問題解決：如圖③，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，連結CE、BG、GE．若AC=2，AB=5，則①求證：△AGB≌△ACE；

②GE= ．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）AB2+CD2=BC2+AD2；（3）①證明見解析；② ．

【解析】

概念理解：根據垂直平分線的判定定理證明即可；

性質探究：根據垂直的定義和勾股定理解答即可；

問題解決：根據垂美四邊形的性質、勾股定理、結合（2）的結論計算即可．

概念理解：四邊形ABCD是垂美四邊形．理由如下：

∵AB=AD，∴點A在線段BD的垂直平分線上．

∵CB=CD，∴點C在線段BD的垂直平分線上，∴直線AC是線段BD的垂直平分線，∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；

性質探究：AD2+BC2=AB2+CD2．理由如下：

如圖2，已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為E．

∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得：AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；

問題解決：①連接CG、BE，如圖3所示：

∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE．

在△GAB和△CAE中，∵AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，∴△AGB≌△ACE（SAS）；

②∵△AGB≌△ACE，∴∠ABG=∠AEC．

又∵∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，由（2）得：CG2+BE2=CB2+GE2．

∵AC=2，AB=5，∴BC=，CG=2，BE=5，∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=37，∴GE=．

故答案為：．