Question

【題目】已知：點O是平行四邊形ABCD兩條對角線的交點，點P是AC所在直線上的一個動點（點P不與點A、C重合），分別過點A、C向直線BP作垂線，垂足分別為E、F

(1)如圖1，當點P與點O重合時，求證：OE=OF

(2)直線BP繞點B逆時針方向旋轉,當∠OFE=時，有OE=OF，如圖2，線段CF、AE、OE之間有怎樣的數量關系？給出證明。

(3)當點P在圖3位置,且∠OFE=時，線段CF、AE、OE之間有怎樣的數量關系？（直接寫出結論，無需證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；（3）CF=OE-AE.

【解析】

（1）由△AOE≌△COF即可得出結論．

（2）圖2中的結論為：CF=OE+AE，延長EO交CF于點G，只要證明△EOA≌△GOC，△OFG是等邊三角形，即可解決問題．

（3）圖3中的結論為：CF=OE-AE，延長EO交FC的延長線于點G，證明方法類似．

（1）∵重合

∴

∵四邊形ABCD是平行四邊形，O為對角線交點

∴AO=CO，

在△AEO和△CFO中，

∴△AEO△CFO（AAS）

∴OE=OF

（2）延長EO交CF于點G，如圖所示，

則可得

∵

∴AE∥CF

∴

又∵O 為對角線交點

∴AO=CO

在△AEO和△CGO中，

∴△AEO△CGO（ASA）

∴OE=OG，AE=CG

在Rt△EFG中，OE=OG，

∴點O為Rt△EFG斜邊EG的中點，

故OF=OE=OG=

∴∠OFE=∠OEF=30°

∴∠OFG=∠EFG∠OFE=90°30°=60°

又∵OF=OG

∴△OFG為等邊三角形

故GF=OF=OE

∵CF=CG+GF

∴CF=CG+GF =AE+OE

（3）延長EO、FC交于點G，如圖所示，

∵

∴AE∥CF

∴

又∵O 為對角線交點

∴AO=CO

在△AEO和△CGO中，

∴△AEO△CGO（AAS）

∴OE=OG，AE=CG

在Rt△EFG中，OE=OG，

故點O為Rt三角形EFG斜邊EG的中點，

∴OF=OE=OG=

∵∠OEF=30°

∴∠OFE=∠OEF=30°

即∠OFG=∠EFG-∠EFO=90°30°=60°

又∵OF=OG

∴△OFG為等邊三角形

∴GF=OF=OG=OE

∵CF=GF-CG

∴CF=OE-AE