Question

【題目】如圖1，拋物線 經過 ， 兩點，與 軸相交于點 ，連接 ．點 為拋物線上一動點，過點 作 軸的垂線 ，交直線 于點 ，交 軸于點 ．

Ⅰ 求拋物線的表達式；

Ⅱ 當 位于 軸右邊的拋物線上運動時，過點 作 直線 ， 為垂足．當點 運動到何處時，以 ， ， 為頂點的三角形與 相似?并求出此時點 的坐標；

Ⅲ 如圖2，當點 在位于直線 上方的拋物線上運動時，連接 ， ．請問 的面積 能否取得最大值?若能，請求出最大面積 ，并求出此時點 的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達式為 ;（2）點 的坐標為 或 ;（3）當 時， 的面積 能取最大值 ，此時 點坐標為 ．

【解析】（1） 由題意得：

解得

拋物線的表達式為 ．

（2） 點坐標為 ，

為等腰直角三角形，且 為直角．

， ， 為頂點的三角形與 相似，

為等腰直角三角形，

又 直線 ，

．

設 ，則 ，

．

，

，解得 或 ．

點 的坐標為 或 ．

（3） ， ，

直線 的表達式為 ，

設 ，則 ，

．

．

當 時， 的面積 能取最大值 ，此時 點坐標為 ．