Question

【題目】如圖①，在銳角△ABC中，D，E分別為AB，BC中點，F為AC上一點，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于點M．

（1）求證：DM=DA；
（2）點G在BE上，且∠BDG=∠C，如圖②，求證：△DEG∽△ECF；
（3）在圖②中，取CE上一點H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1所示，

∵DM∥EF，

∴∠AMD=∠AFE，

∵∠AFE=∠A，

∴∠AMD=∠A，

∴DM=DA；

（2）

證明：如圖2所示，

∵D、E分別是AB、BC的中點，

∴DE∥AC，

∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，

∵∠AFE=∠A，

∴∠BDE=∠AFE，

∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，

∵∠BDG=∠C，

∴∠DGE=∠FEC，

∴△DEG∽△ECF；

（3）

解：如圖3所示，

∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，

∴△BDG∽△BED，

∴，

∴BD2=BGBE，

∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，

∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=EFH，

又∵∠FEH=∠CEF，

∴△EFH∽△ECF，

∴，

∴EF2=EHEC，

∵DE∥AC，DM∥EF，

∴四邊形DEFM是平行四邊形，

∴EF=DM=DA=BD，

∴BGBE=EHEC，

∵BE=EC，

∴EH=BG=1．

【解析】（1）證明∠A=∠DMA，用等角對等邊即可證明結論；
（2）由D、E分別是AB、BC的中點，可知DE∥AC，于是∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，又∠A=∠AFE，∠AFE=∠C+∠FEC，根據等式性質得∠FEC=∠GDE，根據有兩對對應角相等的兩三角形相似可證；
（3）通過證明△BDG∽△BED和△EFH∽△ECF，可得BGBE=EHEC，又BE=EC，所以EH=BG=1．
此題考查了相似三角形的判定與性質.