Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中， A，B，C 為坐標軸上的三點，且OA＝OB＝OC＝4，過點A 的直線AD 交BC 于點D，交y 軸于點G，△ABD 的面積為8．過點C 作CE⊥AD，交AB 交于F，垂足為E．

（1）求D 點的坐標；

（2）求證：OF＝OG；

（3）在第一象限內是否存在點P，使得△CFP 為等腰直角三角形？若存在，請求出點P 的坐標，若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】(1)D(2，2)；(2)OG=OF=；(3)P(4， )、(， )或(， ).

【解析】試題分析：

(1) 過點D作AB的垂線DM，則DM是△ABD的高. 根據已知條件容易求得線段AB的長，根據三角形的面積公式，可以得到線段DM的長，即點D的縱坐標. 利用已知條件易知△BOC是等腰直角三角形，從而可知△BMD也是等腰直角三角形. 利用等腰直角三角形的性質可知線段BM的長，進而獲得點D的橫坐標.

(2) 利用“同角的余角相等”可以得到∠EGC=∠OFC，利用對頂角關系易得∠OGA=∠OFC. 利用已知條件和上述結論可以證明△AOG與△COF全等，進而證明OF=OG.

(3) 由已知條件可知，當△PCF的三個內角分別等于90°時均存在滿足題意的等腰直角三角形. 因此，本小題應該對這三種情況分別進行討論. 根據題意畫出各個情況的示意圖. 當∠PCF=90°時，過點P作y軸的垂線PN. 通過全等三角形可以證明PN=CO，NC=OF. 因為已知線段CO的長，只要求得線段OF的長就可以寫出點P的坐標. 要求線段OF的長就是要求線段OG的長. 利用△AOG與△AMD的相似關系求得線段OG的長，從而寫出點P的坐標. 當∠CFP=90°時，過點P作x軸的垂線PH. 利用已知條件可以證明△FHP與△COF全等，從而利用全等三角形的性質和線段OF與OC的長寫出點P的坐標. 當∠CPF=90°時，過點P作x軸的垂線PQ，過點P作y軸的垂線PR. 利用已知條件可以證明△CRP與△FQP全等，從而可知四邊形OQPR是正方形. 利用線段FQ，OF與線段OC的數量關系可以求得線段FQ的長，進而獲得線段PQ的長. 利用這些條件即可寫出點P的坐標.

試題解析：

(1)

如圖，過點D作DM⊥OB，垂足為M.

∵OA=OB=4，

∴AB=OA+OB=4+4=8.

∵△ABD的面積為8，即，

∴DM=2.

∵OB=OC，

∴在Rt△BOC中，∠OBC=45°，

∴在Rt△BMD中，BM=DM=2.

∴OM=OB-BM=4-2=2.

∴點D的坐標為(2, 2).

(2) 證明：∵CE⊥AD，

∴在Rt△CEG中，∠EGC+∠GCE=90°，即∠EGC+∠OCF=90°，

∵在Rt△COF中，∠OFC+∠OCF=90°，

∴∠EGC=∠OFC，

∴∠OGA=∠OFC，

∵在△AOG和△COF中，

，

∴△AOG≌△COF (AAS).

∴OG=OF，即OF=OG.

(3) 根據題意，分別對下面三種情況進行討論.

①∠PCF=90°，CF=CP (如圖①).

過點D作DM⊥OB，垂足為M. 過點P作PN⊥OC，垂足為N.

∵∠PCN+∠OCF=180°-∠PCF=180°-90°=90°，

又∵在Rt△COF中，∠CFO+∠OCF=90°，

∴∠PCN=∠CFO.

∵在△PNC和△COF中，

，

∴△PNC≌△COF (AAS).

∴PN=CO=4，NC=OF.

∵DM⊥OB，

∴OG∥DM，

∴△AOG∽△AMD，

∴.

∵DM=2，AO=4，AM=AO+OM=4+2=6，

∴OG=，

∴NC=OF=OG=.

∴ON=OC+NC=4+=.

∴點P的坐標為(4, ).

②∠CFP=90°，CF=PF (如圖②).

過點P作PH⊥OB，垂足為H.

∵∠HFP+∠CFO=180°-∠CFP=180°-90°=90°，

又∵在Rt△COF中，∠OCF+∠CFO=90°，

∴∠HFP=∠OCF.

∵在△FHP和△COF中，

，

∴△FHP≌△COF (AAS).

∴PH=FO=，FH=CO=4.

∴OH=OF+FH=+4=.

∴點P的坐標為(,).

③∠CPF=90°，PF=PC (如圖③).

過點P作PQ⊥OB，垂足為Q. 過點P作PR⊥OC，垂足為R.

∵∠CPR+∠FPR=∠CPF=90°，

又∵∠FPQ+∠FPR=∠QPR=90°，

∴∠CPR=∠FPQ.

∵在△CRP和△FQP中，

，

∴△CRP≌△FQP (AAS).

∴CR=FQ，PR=PQ.

∵PR=PQ=OQ=OR.

∴OC=CR+OR=FQ+OQ=FQ+(OF+FQ)=2FQ+OF.

∴2FQ+=4.

∴FQ=.

∴PQ=OQ=OF+FQ=+=.

∴點P的坐標為(,).

綜上所述，點P的坐標為(4, )，(,)或(,).