Question

【題目】如圖，一次函數與反比例函數的圖象交于A（1，4），B（4，n）兩點．

（1）求反比例函數和一次函數的解析式；

（2）點P是x軸上的一動點，當PA+PB最小時，求點P的坐標；

（3）觀察圖象，直接寫出不等式的解集．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數的解析式為；一次函數的解析式為y=-x+5；（2）點P的坐標為（，0）；（3）x＜0或1≤x≤4

【解析】

（1）將點A（1，4）代入可得m的值，求得反比例函數的解析式；根據反比例函數解析式求得點B坐標，再由A、B兩點的坐標可得一次函數的解析式；

（2）作B關于x軸的對稱點B′，連接AB′，交x軸于P，此時PA+PB=AB′最小，根據B的坐標求得B′的坐標，然后根據待定系數法求得直線AB′的解析式，進而求得與x軸的交點P即可．

（3）根據圖象得出不等式的解集即可。

解：（1）把A（1，4）代入，得：m=4，
∴反比例函數的解析式為；

把B（4，n）代入，得：n=1，
∴B（4，1），
把A（1，4）、（4，1）代入y=kx+b，

得：

∴一次函數的解析式為y=-x+5；

（2）如圖，作B關于x軸的對稱點B′，連接AB′，交x軸于P，此時PA+PB=AB′最小，

∵B（4，1），
∴B′（4，-1），
設直線AB′的解析式為y=px+q，

解得

∴直線AB′的解析式為

令y=0，得

解得

∴點P的坐標為（，0）

（3）根據圖象得當x＜0或1≤x≤4時，一次函數y=-x+5的圖象在反比例函數的上方。

∴不等式的解集為x＜0或1≤x≤4。