Question

如圖△ABC中，點O是AC上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠GCA的平分線于點F．
（1）說明 EO=FO．
（2）當點O運動到何處，四邊形AECF是矩形？說明你的結論．
（3）當點O運動到何處，AC與BC具有怎樣的關系時，四邊形AECF是正方形？為什么？

Answer 1

分析：（1）由平行線的性質和角平分線的性質，推出∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，通過等量代換即可推出∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，便可確定OC=OE，OC=OF，可得OE=OF；
（2）當O點運動到AC的中點時，四邊形AECF為矩形，根據矩形的判定定理（對角線相等且互相平分的四邊形為矩形），結合（1）所推出的結論，即可推出OA=OC=OE=OF，求出AC=EF后，即可確定四邊形AECF為矩形；
（3）當O點運動到AC的中點時，AC⊥BC時，四邊形AECF是正方形，根據（2）所推出的結論，由AC⊥BC，MN∥BC，確定AC⊥EF，即可推出結論．

解答：解：（1）∵MN∥BC，
∴∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，
∵CE，CF分別為∠BCA，∠GCA的角平分線，
∴∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，
∴∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，
∴OC=OE，OC=OF，
∴OE=OF，

（2）當O點運動到AC的中點時，四邊形AECF為矩形，
理由：∵O點為AC的中點，
∴OA=OC，
∵OE=OF，OC=OE=OF，
∴OA=OC=OE=OF，
∴AC=EF，
∴四邊形AECF是矩形，

（3）當O點運動到AC的中點時，AC⊥BC時，四邊形AECF是正方形，
理由：∵O點為AC的中點，
∴OA=OC，
∵OE=OF，OC=OE=OF，
∴OA=OC=OE=OF，
∴AC=EF，
∵AC⊥BC，MN∥BC，
∴AC⊥EF，
∴四邊形AECF是正方形．

點評：本題主要考查矩形的判定定理，正方形的判定定理，角平分線和平行線的性質等知識點，關鍵在于結合相關的性質定理通過等量代換推出OE=OC=OF；根據矩形的判定定理確定O點的位置；根據正方形的判定定理確定O點的位置，AC和BC的位置關系．