Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，點M為BC邊上一動點（點M與點B、C不重合），連接AM，過點M作MN⊥AM，垂足為M，MN交CD或CD的延長線于點N．

（1）求證：△CMN∽△BAM；
（2）設BM=x，CN=y，求y關于x的函數解析式．當x取何值時，y有最大值，并求出y的最大值；
（3）當點M在BC上運動時，求使得下列兩個條件都成立的b的取值范圍：①點N始終在線段CD上，②點M在某一位置時，點N恰好與點D重合．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=∠C=90°，

∴∠BAM+∠AMB=90°．

∵MN⊥AM，即∠AMN=90°，

∴∠CMN+∠AMB=90°，

∴∠BAM=∠CMN，

∴△CMN∽△BAM；

（2）

∵△CMN∽△BAM，

∴．

∵BM=x，CN=y，AB=a，BC=AD=b，

∴，

∴y=（bx﹣x2）=（x2﹣bx）

=[（x﹣）2﹣]

=（x﹣）2+．

∵＜0，

∴當x=時，y取最大值，最大值為．

（3）

由題可知：

當0＜x＜b時，y的最大值為a，即=a，

解得：b=2a．

∴要同時滿足兩個條件，b的值為2a．

【解析】（1）由四邊形ABCD是矩形可得∠B=∠C=90°，要證△CMN∽△BAM，只需證∠BAM=∠CMN即可；
（2）根據相似三角形的性質，由△CMN∽△BAM即可得到y與x的函數解析式，然后只需運用配方法就可求出y的最大值；
（3）由點M在BC上運動（點M與點B、C不重合），可得0＜x＜b，要滿足條件①，應保證當0＜x＜b時，y≤a恒成立，要滿足條件②，需存在一個x，使得y=a，綜合條件①和②，當0＜x＜b時y最大值應為a，然后結合（2）中的結論，就可解決問題．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的最值的相關知識，掌握如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a，以及對矩形的性質的理解，了解矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．