Question

【題目】已知，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一直線l1:y=-x+3分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，y軸右側(cè)部分拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)C，過點(diǎn)C作y軸的平行線交直線l1于點(diǎn)D.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖1，C在第一象限，求以CD為直徑的⊙E的最大面積，并判斷此時(shí)⊙E與拋物線的對(duì)稱軸是否相切？若不相切，求出使得⊙E與該拋物線對(duì)稱軸相切時(shí)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)；

（3）坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)M，使B、C、D、M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；（2）不相切， C的橫坐標(biāo)分別為2和；（3）M（0,1），（2,3）（0,1-3），（0,1+3）.

【解析】

（1）直線l1:y=-x+3分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，可求得A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入

y=-x2+bx+c，可求得拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

（2）①設(shè)直線CD的橫坐標(biāo)為t，0＜t＜3,可求得CD的長度表達(dá)式，可求得CD的最大值及與圓不相切；②分當(dāng)CD在對(duì)稱軸右邊時(shí)與左邊討論，可得C的橫坐標(biāo)；

(3)根據(jù)菱形的性質(zhì)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可.

解：（1）直線l1:y=-x+3分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，可得A點(diǎn)（3，0），B點(diǎn)（0，3），將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-x2+bx+c，可得

，可得b=2，c=3

拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）①可得拋物線對(duì)稱軸為：1，

C在第一象限,以CD為直徑的⊙E的最大面積，即CD最長時(shí)，圓的面積最大，

設(shè)直線CD的橫坐標(biāo)為t，0＜t＜3，

D點(diǎn)坐標(biāo)（t，-t+3），C點(diǎn)坐標(biāo)（t，-t+2t+3），

=-t+2t+3-(-t+3)= -t+3t（0＜t＜3），

當(dāng)t==時(shí)，CD最長，此時(shí)CD最長為，

此時(shí)圓E的半徑為，此時(shí)CD與對(duì)稱軸的距離為-1=≠，

故不相切.

②當(dāng)CD在對(duì)稱軸右邊時(shí)，即1＜t＜3時(shí)

= -t+3t（1＜t＜3）；圓E的半徑為t-1，

可得=2r；-t+3t=2（t-1），解得：=-1（舍去）；

=2；

當(dāng)CD在對(duì)稱軸左邊時(shí)，即即0＜t＜1時(shí)，

有-t+3t=2（1-t），解得：（舍去），

；

綜上所述：t=2或t=，⊙E與該拋物線對(duì)稱軸相切.

(3)存在，由菱形性質(zhì)可得M點(diǎn)坐標(biāo)（0,1），（2,3）（0,1-3），（0,1+3）.