Question

如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，⊙O₁與⊙O₂是△ABC內互相外切的等圓，且分別與∠A，∠B的兩邊相切，則這個等圓的半徑的長為

10

7

．

Answer 1

分析：由勾股定理首先計算得到BC=8，再將兩圓圓心與已知的點連接，則把直角三角形分割成了4部分．設圓的半徑是r，根據4部分的面積和等于直角三角形ABC的面積．得到關于r的方程，列方程求解．

解答：解：設圓的半徑是r，將兩圓圓心與已知的點連接．
根據勾股定理求得BC=8，
∴斜邊上的高是：6×8÷10=4.8，
∴

1

2

AC•r+

1

2

BC•r+

1

2

•2r•（4.8-r）+

2r+10

2

•r=

1

2

AC•BC，
∴r=

10

7

．
故答案為：

10

7

．

點評：本題考查了相切兩圓的性質：如果兩圓相切，那么連心線必經過切點．解決此題的方法是根據三角形的面積的不同計算方法進行計算．注意：直角三角形斜邊上的高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊．