Question

已知直角梯形ABCD如圖放置在平面直角坐標系中，∠DCB=30°，AB邊在y軸上，點D的橫坐標為6，CQ⊥x軸，垂足為Q，點Q的橫坐標為12，過CD的直線l交x軸于點E，E點坐標為（18，0）．
（1）求直線l的解析式，以及點A和點B的坐標；
（2）P為線段CD上一動點，連結PQ、OP，探究△POQ的周長，并求出當周長最小時，P的坐標及此時的該三角形的周長；
（3）點N從點Q（12，0）出發，沿著x軸以每秒1個單位長度的速度向點O運動，同時另一動點M從點B開始沿B-C-D-A的方向繞梯形ABCD運動，運動速度為每秒為2個單位長度，當其中一個點到達終點時，另一點也停止運動，設運動時間為t秒，連結MO和MN，試探究當t為何值時MO=MN．

Answer 1

分析：（1）根據AD∥BC，可得∠DEO=∠DCB=30°，設OF=x，則EF=2x，在Rt△EFO中，利用勾股定理可解出x，繼而得出點F的坐標，利用待定系數法可確定EF的解析式，求出點D的縱坐標，點C的縱坐標后，可得點A和點B的坐標；
（2）根據軸對稱的性質，作點Q關于直線EF的對稱點，連接OQ'，則OQ'與CD的交點即是點P的位置，易判斷△Q'QE是等邊三角形，從而根據△POQ的周長的周長=OQ+OQ'，即可求出答案．
（3）分三段討論，①點M在線段BC上，②點M在線段CD上，③點M在線段DA上，分別根據等腰三角形三線合一的性質得出關于t的方程，解出后結合實際判斷即可得出答案，一定要分清是點M還是點N先到達終點．

解答：解：（1）∵∠DCB=30°，
∴∠DEO=30°，
設OF=x，則EF=2x，
在Rt△EFO中，OF²+OE²=EF²，即x²+18²=（2x）²，
解得：x=6

3

，
∴OF=6

3

，則F（0，6

3

），
設直線l的解析式為y=ax+b（a≠0），經過E（18，0）、F（0，6

3

）兩點，
則

18a+b=0 b=6 3

，
解得：

a=- 3 3 b=6 3

，
∴y=-

3

3

x+6

3

，
當x=6時，y=4

3

；當x=12時，y=2

3

，
∴A（0，4

3

），B（0，2

3

）．

（2）如圖：作點Q關于直線EF的對稱點，連接OQ'，則OQ'與CD的交點即是點P的位置，

易證△Q'QE為等邊三角形，則Q'（15，3

3

），
∴L_OQ'：y=

3

5

x，
∴

y= 3 5 x y=- 3 3 x+6 3

，
解得：

x= 45 4 y= 9 3 4

，
∴P（

45

4

，

9 3

4

），
∴C△OPQ=12+

152+(3 3 )2

=12+6

7

．

（3）①當點M在線段BC上時0≤t≤6，BM=2t，OQ=12-t，

根據三線合一得：2（2t）=12-t，
解得：t=

12

5

s，
②當點M在CD上時，

由于CD=4

3

，所以6＜t≤6+2

3

，而此時點N已經向左運動超過了點（6，0），
所以在CD上不可能存在點M．
③點M在DA上運動時，6+2

3

＜t＜12，（注意，點N先到達終點，因而只能運動12秒就停止了）．
AM=18+4

3

-2t，ON=12-t，

根據三線合一得：2（18+4

3

-2t）=12-t，
解得：t=

24+8 3

3

＞12s，所以在DA上不可能存在點M．
但當t=12時MO=MN（此時點N與點O重合）．
綜上可得：t=

12

5

s或t=12s時MO=MN．

點評：本題考查了一次函數的綜合，涉及了待定系數法求函數解析式、等腰三角形的性質及軸對稱求最短路徑的知識，解答本題需要同學們具有扎實的基本功，注意數形結合思想及分類討論思想的運用，難度較大．