Question

已知直角梯形ABCD中AD∥BC，∠B=90°，AB=8，AD=24，BC=26，點P從A點出發，沿AD邊以1的速度向點D運動，點Q從點C開始沿CB邊以3的速度向點B運動，P、Q分別從點A、C同時出發，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t．
（1）當t為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形？
（2）當t為何值時，四邊形PQCD為等腰梯形？

Answer 1

分析：（1）由當PD=CQ時，四邊形PQCD為平行四邊形，可得方程24-t=3t，解此方程即可求得答案；
（2）首先過D作DE⊥BC于E，可求得EC的長，又由當PQ=CD時，四邊形PQCD為等腰梯形，可求得當QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE，即3t-（24-t）=4時，四邊形PQCD為等腰梯形，解此方程即可求得答案．

解答：解：根據題意得：PA=t，CQ=3t，則PD=AD-PA=24-t．
（1）∵AD∥BC，
即PD∥CQ，
∴當PD=CQ時，四邊形PQCD為平行四邊形，
即24-t=3t，
解得：t=6，
即當t=6時，四邊形PQCD為平行四邊形；

（2）過D作DE⊥BC于E，
則四邊形ABED為矩形，
∴BE=AD=24cm，
∴EC=BC-BE=2cm，
當PQ=CD時，四邊形PQCD為等腰梯形，如圖所示：
過點P作PF⊥BC于點F，過點D作DE⊥BC于點E，
則四邊形PDEF是矩形，
∴EF=PD，PF=DE，
在Rt△PQF和Rt△CDE中，

PF=DE PQ=DC

，
∴Rt△PQF≌Rt△CDE（HL），
∴QF=CE，
∴QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE，
即3t-（24-t）=4，
解得：t=7，
即當t=7時，四邊形PQCD為等腰梯形．

點評：此題考查了直角梯形的性質、平行四邊形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．