Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，E、F分別為AB，AC上的點(E、F不與A重合)，且EF∥BC．將△AEF沿著直線EF向下翻折，得到△A'EF，再展平．

（1）請證明四邊形AE A'F為菱形；
（2）當等腰△ABC滿足什么條件時，按上述方法操作，四邊形AE A'F將變成正方形？（只寫結果，不作證明）

Answer 1

（1）見解析；（2）等腰△ABC的頂角為90°

試題分析：（1）由題意易得△AEF為等腰三角形，AE=EA′，AF=FA′，所以四邊形AEA′F是菱形；
（2）因為有一角為直角的菱形是正方形，故當等腰△ABC的頂角為90°時，四邊形AEA′F是正方形．
（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠C=∠B=∠AFE．
∴AE=AF．
∵AE=EA′，AF=FA′，
∴AE=EA′=AF=FA′，
∴四邊形AEA′F是菱形．
（2）當等腰△ABC的頂角為90°時，四邊形AEA′F是正方形．
點評：解答本題的關鍵是熟練掌握四條邊相等的四邊形的菱形，有一個角是直角的菱形是正方形。