Question

【題目】已知射線平行于射線，點、分別在射線、上.

（1）如圖1，若點在線段上，若，時，則_________.

（2）如圖1，若點在線段上運動（不包含、兩點），則、、之間的等量關系是_____________________.

（3）①如圖2，若點在線段的延長線上運動，則、、之間的等量關系是________________；

②如圖3，若點在線段的延長線上運動，則、、之間的等量關系是________________.

（4）請說明圖2中所得結論的理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①；②；（4）見解析；

【解析】

（1）過P作GH∥CD，根據平行線的性質得∠HPC=∠C，由AB∥CD得到AB∥GH，得到∠APH=∠A，則∠APC=∠HPC+∠APH=∠A+∠C，把∠A=25°，∠APC=70°代入計算可得到∠C的度數；

（2）過P作GH∥CD，根據平行線的性質得∠HPC=∠C，由AB∥CD得到AB∥GH，得到∠APH=∠A，則∠APC=∠HPC+∠APH=∠A+∠C，可得到∠APC=∠A+∠C；

（3）過P作MN∥CD，根據平行線的性質得∠MPC=∠C，由AB∥CD得到AB∥MN，得到∠APM=∠A，則∠APC=∠MPC-∠APM=∠C-∠A，可得到∠APC=∠C-∠A；

② 過P作IJ∥CD，根據平行線的性質得∠IPC=∠C，由AB∥CD得到AB∥IJ，得到∠API=∠A，則∠APC=∠API-∠IPC=∠A-∠C，可得到∠APC=∠A-∠C；

（4）過點作，由兩直線平行，內錯角相等，得到，，再由角的關系進行相減即可.

解：

（1）如圖1，過P作GH∥CD，

∴∠C=∠CPH.

∵AB∥CD，

∴AB∥GH，

∴∠A=∠APH.

∵∠APC=∠HPC+∠APH=∠A+∠C，

∴∠C=∠APC-∠A=70°-25°=45°.

（2）如圖1，如圖1，過P作GH∥CD，

∴∠C=∠CPH.

∵AB∥CD，

∴AB∥GH，

∴∠A=∠APH.

∵∠APC=∠HPC+∠APH=∠A+∠C，

∴.

（3）①如圖2，過P作MN∥CD，

∴∠MPC=∠C.

∵AB∥CD，

∴AB∥MN，

∴∠APM=∠A.

∵∠APC=∠MPC-∠APM=∠C-∠A

∴；

②如圖3，過P作IJ∥CD，

∴∠IPC=∠C.

∵AB∥CD,

∴AB∥IJ,

∴∠API=∠A.

∵∠APC=∠API-∠IPC=∠A-∠C

∴.

（4）理由：過點作

∵

∴

∴，

∵

∴