Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c的對(duì)稱軸為x=2，且經(jīng)過B（0，4），C（5，9），直線BC與x軸交于點(diǎn)A．
（1）求出直線BC及拋物線的解析式；
（2）D（1，y）在拋物線上，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在兩點(diǎn)M，N，且MN=2，點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方，使得四邊形BDNM的周長(zhǎng)最��？若存在，求出M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）現(xiàn)將直線BC繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與拋物線相交于另一點(diǎn)P，請(qǐng)找出拋物線上所有滿足到直線BC距離為3

2

的點(diǎn)P．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法，根據(jù)題意列方程組求解即可；
（2）若四邊形BDNM的周長(zhǎng)最短，求出BM+DN最短即可，∵點(diǎn)D拋物線上，
∴D（1，1）∴D點(diǎn)關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)是D₁（3，1）∵B（0，4）
∴將B點(diǎn)向下平移2個(gè)單位得到B₁（0，2）（1分）∴直線B₁D₁交直線x=2于點(diǎn)N，求得直線B₁D₁的解析式即可得解；
（3）將直線BC繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與拋物線相交于另一點(diǎn)P，設(shè)P到直線BC的距離為h，故P點(diǎn)應(yīng)在與直線BC平行，且相距3

2

的上下兩條平行直線l₁和l₂上．由平行線的性質(zhì)可得：兩條平行直線與y軸的交點(diǎn)到直線BC的距離也為3

2

．根據(jù)圖形求解即可．

解答：解：（1）設(shè)BC直線解析式：y=kx+b
根據(jù)題意得：

b=4 9=5k+b

解得

b=4 k=1

直線BC的解析式為：y=x+4（1分）
∵拋物線的對(duì)稱軸為x=2
設(shè)拋物線的解析式為y=（x-2）²+t，
根據(jù)題意得

4=a(0-2)2+t 9=a(5-2)2+t

解得：

a=1 t=0

拋物線的解析式為y=x²-4x+4（1分）

（2）∵若四邊形BDNM的周長(zhǎng)最短，求出BM+DN最短即可
∵點(diǎn)D拋物線上，
∴D（1，1）
∴D點(diǎn)關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)是D₁（3，1）
∵B（0，4）
∴將B點(diǎn)向下平移2個(gè)單位得到B₁（0，2）（1分）
∴直線B₁D₁交直線x=2于點(diǎn)N，
∵直線B₁D₁的解析式為：y=-

1

3

x+2（1分）
∴N（2，

4

3

）
∵M(jìn)N=2∴M（2，

10

3

）（1分）

（3）將直線BC繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與拋物線相交于另一點(diǎn)P，設(shè)P到直線BC的距離為h，
故P點(diǎn)應(yīng)在與直線BC平行，且相距3

2

的上下兩條平行直線l₁和l₂上．（1分）
由平行線的性質(zhì)可得：兩條平行直線與y軸的交點(diǎn)到直線BC的距離也為3

2

．
如圖，設(shè)l₁與y軸交于E點(diǎn)，過E作EF⊥BC于F點(diǎn)，
在Rt△BEF中，EF=h=3

2

，∠EBF=∠ABO=45°，
∴BE=6．
∴可以求得直線l₁與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，10）
同理可求得直線l₂與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2）（1分）
∴兩直線解析式l₁：y=x+10，l₂：y=x-2．
根據(jù)題意列出方程組：①

y=x2-4x+4 y=x+10

；
②

y=x2-4x+4 y=x-2

∴解得：

x1=6 y1=16

；

x2=-1 y2=9

；

x3=2 y3=0

；

x4=3 y4=1

∴滿足條件的點(diǎn)P有四個(gè)，它們分別是P₁（2，0），P₂（3，1），P₃（-1，9），P₄（6，16）．（1分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，還要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．