Question

【題目】已知拋物線y＝x2+bx+c的對稱軸l交x軸于點A．

（1）若此拋物線經過點（1，2），當點A的坐標為（2，0）時，求此拋物線的解析式；

（2）拋物線y＝x2+bx+c交y軸于點B，將該拋物線平移，使其經過點A，B，且與x軸交于另一點C．若b2＝2c，b≤﹣1，比較線段OB與OC+的大�。�

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+5；（2）當﹣3＜b≤﹣1時，OB＜OC+；當b＝﹣3時，OB＝OC+；當b＜﹣3時，OB＞OC+．

【解析】

（1）根據拋物線y＝x2+bx+c經過點（1，2），對稱軸l交x軸于點A（2，0），列出關于b、c的方程組，解方程組即可求得此拋物線的解析式；

（2）先求出點A（﹣，0），B（0，），然后設平移后的拋物線的解析式為y＝（x++h）2++k，代入A、B的坐標，求得，那么平移后的拋物線的解析式為y＝（x++）2+﹣＝x2+bx+b2，然后求得C的坐標，得出OB＝，OC＝﹣b，OC+＝﹣b+，即可判斷OB與OC+的大�。�

解：（1）根據題意，得，

解得，

所以此拋物線的解析式為y＝x2﹣4x+5；

（2）∵拋物線y＝x2+bx+c交y軸于點B，對稱軸l交x軸于點A，

∴B（0，c），A（﹣，0），

∵b2＝2c，

∴c＝，

∴y＝x2+bx+c＝x2+bx+＝（x+）2+，

設平移后的拋物線的解析式為y＝（x++h）2++k，

∵拋物線經過點A（﹣，0），B（0，），

∴，解得，

∴平移后的拋物線的解析式為y＝（x++）2+﹣＝x2+bx+b2，

令y＝0，則x2+bx+b2＝0，

解得x1＝﹣，x2＝﹣b，

∴C（﹣b，0），

∴OB＝，OC＝﹣b，

∴OC+＝﹣b+，

∵OB﹣（OC+）＝﹣（﹣b+）＝+b﹣＝（b2+2b﹣3）＝（b+3）（b﹣1），

而b≤﹣1，

∴當﹣3＜b≤﹣1時，OB＜OC+；

當b＝﹣3時，OB＝OC+；

當b＜﹣3時，OB＞OC+．