Question

【題目】在等邊△ABC中，以BC為直徑的⊙O與AB交于點D，DE⊥AC，垂足為點E．
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）計算 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠ABC=60°，

又∵OD=OB，

∴△OBD為等邊三角形，

∴∠BOD=60°=∠ACB，

∴OD∥AC，

又∵DE⊥AC，

∴∠ODE=∠AED=90°，

∴DE為⊙O的切線

（2）解：連接CD，

∵BC為⊙O的直徑，

∴∠BDC=90°，

又∵△ABC為等邊三角形，

∴AD=BD= AB，

在Rt△AED中，∠A=60°，

∴∠ADE=30°，

∴AE= AD= AC，CE=AC﹣AE= AC，

∴ =3．

【解析】（1）連接OD，根據等邊三角形性質得出∠B=∠A=60°，求出等邊三角形BDO，求出∠BDO，∠A，推出OD∥AC，推出OD⊥DE，根據切線的判定推出即可；（2）求出AD= AC，求出AE= AC，CE= AC，即可求出答案．
【考點精析】本題主要考查了平行線的判定和等邊三角形的性質的相關知識點，需要掌握同位角相等，兩直線平行;內錯角相等，兩直線平行;同旁內角互補，兩直線平行；等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°才能正確解答此題．