Question

【題目】如圖，過A（1，0）、B（3，0）作x軸的垂線，分別交直線y=4﹣x于C、D兩點．拋物線y=ax2+bx+c經過O、C、D三點．

（1）求拋物線的表達式；
（2）點M為直線OD上的一個動點，過M作x軸的垂線交拋物線于點N，問是否存在這樣的點M，使得以A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求此時點M的橫坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若△AOC沿CD方向平移（點C在線段CD上，且不與點D重合），在平移的過程中△AOC與△OBD重疊部分的面積記為S，試求S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意，可得C（1，3），D（3，1）．

∵拋物線過原點，∴設拋物線的解析式為：y=ax2+bx．

∴ ，

解得 ，

∴拋物線的表達式為：y=﹣ x2+ x

（2）

解：存在．

設直線OD解析式為y=kx，將D（3，1）代入，

求得k= ，

∴直線OD解析式為y= x．

設點M的橫坐標為x，則M（x， x），N（x，﹣ x2+ x），

∴MN=|yM﹣yN|=| x﹣（﹣ x2+ x）|=| x2﹣4x|．

由題意，可知MN∥AC，因為以A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，則有MN=AC=3．

∴| x2﹣4x|=3．

若 x2﹣4x=3，整理得：4x2﹣12x﹣9=0，

解得：x= 或x= ；

若 x2﹣4x=﹣3，整理得：4x2﹣12x+9=0，

解得：x= ．

∴存在滿足條件的點M，點M的橫坐標為： 或 或

（3）

解：∵C（1，3），D（3，1）

∴易得直線OC的解析式為y=3x，直線OD的解析式為y= x．

如解答圖所示，

設平移中的三角形為△A′O′C′，點C′在線段CD上．

設O′C′與x軸交于點E，與直線OD交于點P；

設A′C′與x軸交于點F，與直線OD交于點Q．

設水平方向的平移距離為t（0≤t＜3），

則圖中AF=t，F（1+t，0），Q（1+t， + t），C′（1+t，3﹣t）．

設直線O′C′的解析式為y=3x+b，

將C′（1+t，3﹣t）代入得：b=﹣4t，

∴直線O′C′的解析式為y=3x﹣4t．

∴E（ t，0）．

聯立y=3x﹣4t與y= x，解得x= t，

∴P（ t， t）．

過點P作PG⊥x軸于點G，則PG= t．

∴S=S△OFQ﹣S△OEP= OFFQ﹣ OEPG

= （1+t）（ + t）﹣ t t

=﹣ （t﹣1）2+

當t=1時，S有最大值為 ．

∴S的最大值為 ．

【解析】（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；（2）由題意，可知MN∥AC，因為以A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，則有MN=AC=3．設點M的橫坐標為x，則求出MN=| x2﹣4x|；解方程| x2﹣4x|=3，求出x的值，即點M橫坐標的值；（3）設水平方向的平移距離為t（0≤t＜3），利用平移性質求出S的表達式：S=﹣ （t﹣1）2+ ；當t=1時，s有最大值為 ．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的圖象和二次函數的性質，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．