Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm；BC=6cm，點D為AB的中點．

（1）如果點P在線段BC上以1cm/s的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線段CA上由點C向點A運動．

①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；

②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？

（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發，點P以原來的運動速度從點B出發都逆時針沿△ABC三邊運動，直接寫出經過多少秒后，點P與點Q第一次在△ABC的那一條邊上相遇．

Answer 1

【答案】（1）①△BPD與△CQP全等，②點Q的運動速度是cm/s．（2）經過30秒后點P與點Q第一次在△ABC的邊BC上相遇．

【解析】

（1）①根據SAS即可判斷；②利用全等三角形的性質，判斷出對應邊，根據時間．路程、速度之間的關系即可解決問題；（2）求出Q的運動路程，與根據三角形ABC周長的整數倍進行比較，即可得出相遇點的位置．

（1）①△BPD與△CQP全等，

∵點P的運動速度是1cm/s，

∴點Q的運動速度是1cm/s，

∴運動1秒時，BP=CQ=1cm，

∵BC=6cm，

∴CP=5cm，

∵AB=10，D為AB的中點，

∴BD=5，

∴BD=CP，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴△BPD≌△CQP．

②點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，則BP≠CQ，

若△BPD與△CQP全等，只能BP=CP=3cm，BD=CQ=5cm，

此時，點P運動3cm，需3秒，而點Q運動5cm，

∴點Q的運動速度是cm/s．

（2）設經過t秒時，P、Q第一次相遇，

∵P的速度是1厘米/秒，Q的速度是厘米/秒，

∴10+10+t=t，

解得：t=30，

此時點Q的路程=30×=50（厘米），

∵50＜2×26，

∴此時點Q在BC上，

∴經過30秒后點P與點Q第一次在△ABC的邊BC上相遇．