Question

已知，如圖AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D，求證：BC=AB+CD．

Answer 1

分析：證明線段的和差倍分問題常用截長補短的方法．
在線段BC上截取BE=BA，連接DE．則只需證明CD=CE即可．結合角度證明∠CDE=∠CED．

解答：證明：在線段BC上截取BE=BA，連接DE．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD=

1

2

∠ABC．
在△ABD和△EBD中，

BE=BA ∠ABD=∠EBD BD=BD(公共邊)

，
∴△ABD≌△EBD．（SAS）
∴∠BED=∠A=108°，∠ADB=∠EDB．
又∵AB=AC，∠A=108°，∠ACB=∠ABC=

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2

×（180°-108°）=36°，
∴∠ABD=∠EBD=18°．
∴∠ADB=∠EDB=180°-18°-108°=54°．
∴∠CDE=180°-∠ADB-∠EDB=180°-54°-54°=72°．
∴∠DEC=180°-∠DEB=180°-108°=72°．
∴∠CDE=∠DEC．
∴CD=CE．
∴BC=BE+EC=AB+CD．

點評：此題考查全等三角形的判定和性質及等腰三角形的判定，綜合性較強．