Question

已知，如圖AB⊥AC，CD⊥AC，BE=DE，且∠BED=90°，則：
（1）求證：△AEB≌△CDE；
（2）試說明：AC=AB+CD．

Answer 1

分析：（1）由∠BED=90°，根據平角的定義可得∠AEB+∠DEC=90°，又根據垂直的定義得到∠A=90°，然后由直角三角形的兩銳角互余得到∠AEB+∠ABE=90°，根據同角的余角相等得到∠ABE=∠DEC，再由AB⊥AC，CD⊥AC，根據垂直定義得到一對直角相等，以及BE=DE，根據“AAS”即可得證；
（2）由（1）的△AEB≌△CDE，根據全等三角形的對應邊相等得到AB=CE，AE=CD，等量代換后即可得證．

解答：證明：（1）∵∠BED=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
又∵AB⊥AC，CD⊥AC，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠DEC，
在△AEB和△CDE中，

∠A=∠D=90° ∠ABE=∠DEC BE=DE

，
∴△AEB≌△CDE（AAS）；

（2）由（1）得到△AEB≌△CDE，
∴AB=CE，AE=CD，
則AC=CE+AE=AB+CD．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，利用了等量代換的思想，其中全等三角形的判定方法為：SSS；SAS；ASA；AAS；HL（直角三角形判定全等的方法），常常利用三角形的全等來解決線段或角相等的問題，在證明三角形全等時，要注意公共角及公共邊，對頂角相等等隱含條件的運用．