Question

已知二次函數y=x²+bx+c+1的圖象過點P（2，1）．
（1）求證：c=-2b-4；
（2）求bc的最大值；
（3）若二次函數的圖象與x軸交于點A（x₁，0）、B（x₂，0），△ABP的面積是

3

4

，求b的值．

Answer 1

分析：（1）將P點坐標代入拋物線的解析式中，即可證得所求的結論；
（2）將（1）所得的b、c的關系式代入bc中，即可得到關于bc與b的函數關系式，根據函數的性質即可得到bc的最大值；
（3）可根據韋達定理，用b表示出AB的長，進而根據△ABP的面積及P點的縱坐標求出AB的具體值，即可得出關于b的方程，從而求得b的值．

解答：（1）證明：將點P（2，1）代y=x²+bx+c+1，
得：1=2²+2b+c+1，（1分）
整理得：c=-2b-4；（2分）

（2）解：∵c=-2b-4，
∴bc=b（-2b-4）=-2（b+1）²+2，（4分）
∴當b=-1時，bc有最大值2；（5分）

（3）解：由題意得：

1

2

AB×1=

3

4

，
∴AB=|x₂-x₁|=

3

2

，
即|x₂-x₁|²=

9

4

，（6分）
亦即(x1+x2)2-4x1x2=

9

4

，（7分）
由根與系數關系得：x₁+x₂=-b，x₁•x₂=c+1=-2b-4+1=-2b-3，（8分）
代入(x1+x2)2-4x1x2=

9

4

，
得：(-b)2-4(-2b-3)=

9

4

，
整理得：b2+8b+

39

4

=0，（9分）
解得：b₁=-

3

2

，b₂=-

13

2

．（10分）

點評：此題主要考查了二次函數圖象上點的坐標意義、二次函數的最值、根與系數的關系等知識的綜合應用能力．