Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=14，AD= 4，CD=7．直線l經過A，D兩點，且sin∠DAB=．動點P在線段AB上從點A出發以每秒2個單位的速度向點B運動，同時動點Q從點B出發以每秒5個單位的速度沿B→C→D的方向向點D運動，過點P作PM垂直于AB，與折線A→D→C相交于點M，當P，Q兩點中有一點到達終點時，另一點也隨之停止運動．設點P，Q運動的時間為t秒（t＞0），△MPQ的面積為S．

（1）求腰BC的長；
（2）當Q在BC上運動時，求S與t的函數關系式；
（3）在（2）的條件下，是否存在某一時刻t，使得△MPQ的面積S是梯形ABCD面積的？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；
（4）隨著P，Q兩點的運動，當點M在線段DC上運動時，設PM的延長線與直線l相交于點N，試探究：當t為何值時，△QMN為等腰三角形？

Answer 1

（1）5；（2）S=﹣5t²+14t(0＜t≤1）（3）不存在，理由見解析；（4）t=或t=

解析試題分析：（1）利用梯形性質確定點D的坐標，利用sin∠DAB=特殊三角函數值，得到△AOD為等腰直角三角形，求出梯形的高，然后利用勾股定理求出BC有長；
（2）當0＜t≤1時，S=×2t×（14﹣5t）=﹣5t²+14t；
（3）在（2）的條件下，不存在某一時刻t，使得△MPQ的面積S是梯形ABCD面積的
（4）△QMN為等腰三角形的情形有兩種，需要分類討論，避免漏解．
試題解析：（1）5 
（2）當0＜t≤1時，S=×2t×（14﹣5t）=﹣5t²+14t
（3）梯形ABCD的面積為42
﹣5t²+14t=42程無解，所以△MPQ的面積不能為梯形ABCD的。
（4）△QMN為等腰三角形，有兩種情形：
①如圖4所示，點M在線段NM的右側上
，
MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，MN=DM=2t-4，
由MN=MQ，得16-7t=2t-4，解得t=；
②如圖5所示，當Q在MN的左側時，5t-5+（2t-4）-7=（2t-4）+4-4，

解得：t=．
故當t=或t=時，△QMN為等腰三角形．
考點: 一次函數綜合題．