Question

【題目】在第九章中我們研究了幾種特殊四邊形，請根據你的研究經驗來自己研究一種特殊四邊形——箏形．

初識定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形是箏形．

（1）根據箏形的定義，寫出一種你學過的四邊形滿足箏形的定義的是 ．

性質研究：

（2）類比你學過的特殊四邊形的性質，通過觀察、測量、折疊、證明等操作活動，對如圖的箏形ABCD（AB＝AD，BC＝CD）的性質進行探究，以下判斷正確的有 （填序號）．

①AC⊥BD；②AC、BD互相平分；

③AC平分∠BAD和∠BCD；

④∠ABC＝∠ADC；⑤∠BAD＋∠BCD＝180°；

⑥箏形ABCD的面積為AC×BD．

（3）在上面的箏形性質中選擇一個進行證明．

性質應用：

（4）直接利用你發現的箏形的性質解決下面的問題：

如圖，在箏形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，點P是對角線BD上一點，過P分別做AD、CD垂線，垂足分別為點M、N．當箏形ABCD滿足條件 時，四邊形PNDM是正方形？請說明理由．

判定方法：

（5）回憶我們學習過的特殊四邊形的判定方法（如四邊相等的四邊形是菱形），用文字語言寫出箏形的一個判定方法（除定義外）： ．

Answer 1

【答案】（1）菱形（或正方形，答案不唯一）；（2）①③④⑥．（3）選①．證明見解析；（4）∠ADC＝90°． 證明見解析；（5）一條對角線垂直且平分另一條對角線的四邊形是箏形．（答案不唯一，如一組鄰邊相等且對角線互相垂直的四邊形是箏形等．）

【解析】

(1)根據箏形的定義，結合平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質即可得；

(2)根據箏形的定義，結合線段垂直平分線的判定、全等三角形的判定與性質、四邊形的面積進行分析即可得；

(3)根據箏形的定義，結合線段垂直平分線的判定、全等三角形的判定與性質、四邊形的面積等選擇任何一個性質進行證明即可；

(4)結合箏形的性質結合正方形的判定方法即可得；

(5)如：一條對角線垂直且平分另一條對角線的四邊形是箏形．由AC是BD的垂直平分線，可得AB=AD，CB=CD．繼而證得結論．(答案不唯一)

(1)由菱形和正方形的定義可知菱形(或正方形)是箏形，

故答案為：菱形(或正方形，答案不唯一)；

(2)∵四邊形ABCD是箏形，AB＝AD，BC＝CD，

∴AC垂直平分BD，

∴AC⊥BD，故①正確，②錯誤；

∵AB＝AD，BC＝CD，AC＝AC，

∴△ABC≌△ADC，

∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，∠ABC＝∠ADC，

∴AC平分∠BAD和∠BCD，故③、④正確，

∵AC⊥BD，

∴箏形ABCD的面積為AC×BD，故⑥正確，

無法推出⑤，故⑤錯誤，

故答案為：①③④⑥；

(3)選①，

證明：∵AB＝AD，BC＝CD，

∴AC垂直平分BD．

∴AC⊥BD．

答案不唯一，

選③，

證明：∵AB＝AD，BC＝CD，AC＝AC，

∴△ABC≌△ADC．

∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA．

∴AC平分∠BAD和∠BCD．

選④，

證明：∵AB＝AD，BC＝CD，AC＝AC，

∴△ABC≌△ADC．

∴∠ABC＝∠ADC．

選⑥，

證明：∵AB＝AD，BC＝CD，

∴AC垂直平分BD．

∴AC⊥BD．

∴箏形ABCD的面積為AC×BD．

(4)當箏形ABCD滿足條件∠ADC＝90°時，四邊形PNDM是正方形，理由如下：

∵PM⊥AD，PN⊥CD，

∴∠PMD＝∠PND＝90°．

又∵∠ADC＝90°，

∴四邊形MPND是矩形．

∵在箏形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，

∴∠ADB＝∠CDB，

又∵PM⊥AD，PN⊥CD，

∴PM＝PN，

∴四邊形MPND是正方形，

故答案為：∠ADC＝90°．

(5)一條對角線垂直且平分另一條對角線的四邊形是箏形．(答案不唯一，如一組鄰邊

相等且對角線互相垂直的四邊形是箏形等．)

已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC是BD的垂直平分線．

求證：四邊形ABCD是箏形．

證明：∵AC是BD的垂直平分線，

∴AB=AD，CB=CD，

∴四邊形ABCD是箏形．