Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A（﹣1，0）B（3，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求拋物線y=ax2+2x+c的解析式:；

（2）點D為拋物線上對稱軸右側、x軸上方一點，DE⊥x軸于點E，DF∥AC交拋物線對稱軸于點F，求DE+DF的最大值；

（3）①在拋物線上是否存在點P，使以點A，P，C為頂點，AC為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；

②點Q在拋物線對稱軸上，其縱坐標為t，請直接寫出△ACQ為銳角三角形時t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）DE+DF有最大值為；（3）①存在，P的坐標為（，）或（，）；②＜t＜．

【解析】

（1）設拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），根據系數的關系，即可解答

（2）先求出當x=0時，C的坐標，設直線AC的解析式為y=px+q，把A,C的坐標代入即可求出AC的解析式，過D作DG垂直拋物線對稱軸于點G，設D（x，﹣x2+2x+3），得出DE+DF=﹣x2+2x+3+（x-1）=﹣x2+（2+）x+3-，即可解答

（3）①過點C作AC的垂線交拋物線于另一點P1，求出直線PC的解析式，再結合拋物線的解析式可求出P1，過點A作AC的垂線交拋物線于另一點P2，再利用A的坐標求出P2，即可解答

②觀察函數圖象與△ACQ為銳角三角形時的情況，即可解答

解：（1）設拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，

∴﹣2a=2，解得a=﹣1，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）當x=0時，y=﹣x2+2x+3=3，則C（0，3），設直線AC的解析式為y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，∴直線AC的解析式為y=3x+3，如答圖1，過D作DG垂直拋物線對稱軸于點G，設D（x，﹣x2+2x+3），

∵DF∥AC，

∴∠DFG=∠ACO，易知拋物線對稱軸為x=1，

∴DG=x-1，DF=（x-1），

∴DE+DF=﹣x2+2x+3+（x-1）=﹣x2+（2+）x+3-，

∴當x=，DE+DF有最大值為；

答圖1 答圖2

（3）①存在；如答圖2，過點C作AC的垂線交拋物線于另一點P1，

∵直線AC的解析式為y=3x+3，

∴直線PC的解析式可設為y=x+m，把C（0，3）代入得m=3，

∴直線P1C的解析式為y=x+3，解方程組，解得或，則此時P1點坐標為（，）；過點A作AC的垂線交拋物線于另一點P2，直線AP2的解析式可設為y=x+n，把A（﹣1，0）代入得n=，

∴直線PC的解析式為y=，解方程組，解得或，則此時P2點坐標為（，），綜上所述，符合條件的點P的坐標為（，）或（，）；

②＜t＜．