Question

【題目】如圖1，直線與軸交于點，與軸交于點拋物線經過點、.

（1）求點的坐標和拋物線的解析式.

（2）為軸上一個動點，過點垂直于軸的直線與直線和拋物線分別交于點、.

①點在線段上運動，若以、、為頂點的三角形與相似，求點的坐標；

②點在軸上自由運動，若三個點、、中恰有一點是其他兩點所連線段的中點（三點重合除外），則稱、、三點為“共諧點”.請直接寫出使得、、三點成為“共諧點”的的值.

Answer 1

【答案】（1）；拋物線的解析式為；

（2）①點的坐標為或；②或或.

【解析】

（1）利用待定系數法即可解決問題；

（2）②先根據題意確定N點坐標，再根據（1）所得直線AB的解析式，確定OA，OB的長度，若使和相似，則必須或，然后分類討論即可；

②根據題意直接寫成m的取值即可.

解：（1）∵直線與軸交于點，∴，解得，∴.

∵拋物線經過點，∴，

∴，∴拋物線的解析式為.

（2）∵軸，，，∴.

①由（1）知直線的解析式為，，.

在和中，∵，，∴若使和相似，則必須或，分兩種情況討論如下：

（Ⅰ）當時，過點作軸于點，則，，.

∵，∴，∴，∴.

∴，即，解得（舍去）或，

∴.

（Ⅱ）當時，，∴點的縱坐標為2，∴，解得（舍去）或，∴.

綜上，點的坐標為或.

②或或.