Question

如圖，點D是⊙O的直徑CA延長線上一點，點B在⊙O

上，且AB=AD=AO.
小題1:（1）求證：BD是⊙O的切線.
小題2:（2）若點E是劣弧上一點，AE與BC相交于點F，且∠ABE=105°，

Answer 1

小題1:（1）證明：聯結OB.
∵AB=AD=AO
∴∠DBA=∠D, ∠ABO=∠AOB
∵∠DBA+∠D+∠ABO+∠AOB=180°
∴∠DBA+∠ABO=90°
∴OB⊥BD，---------------------------1分
∵點B在⊙O
∴BD是⊙O的切線.---
小題2:（2）解：過點B作BH⊥AE于H.--------3分
∵AB=AO,AO=OB
∴AB=AO=OB
∴△ABO為等邊三角形
∴∠AOB=60°，∵∠AOB=∠C
∴∠C=30°
∵BD是⊙O的切線
∴BD⊥OB,∴∠DBO=90°, ∴∠D=30°
∴OD="2OB," ∵DB=,∴OB=2，∴AB=2.
∵∠E=∠C
∴∠E=30°
∵∠ABE=105°
∴∠BAE=45°，∴∠ABH=∠BAE=45°
∴AH=BH
設AH=BH=x
∵在Rt△ABH中，sin∠BAH=.
∴BH=AB·sin45°=2×=,∴AH=--------4分
在Rt△ABH中,BE=2BH=
由勾股定理得：HE=
∴AE=+-

略