Question

【題目】（）如圖①，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點(diǎn)，且．

求證：．

（）如圖②，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點(diǎn)，且，（）中的結(jié)論是否仍然成立？

（）如圖③，在四邊形中，，，、分別是邊、延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且．（）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】（1）可通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)線段間的轉(zhuǎn)換．延長(zhǎng)EB到G，使BG=DF，連接AG．目的就是要證明三角形AGE和三角形AEF全等將EF轉(zhuǎn)換成GE，那么這樣EF=BE+DF了，于是證明兩組三角形全等就是解題的關(guān)鍵．三角形ABE和AEF中，只有一條公共邊AE，我們就要通過(guò)其他的全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)，在三角形ABG和AFD中，已知了一組直角，BG=DF，AB=AD，因此兩三角形全等，那么AG=AF，∠1=∠2，那么∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．由此就構(gòu)成了三角形ABE和AEF全等的所有條件（SAS），那么就能得出EF=GE了．
（2）思路和作輔助線的方法與（1）完全一樣，只不過(guò)證明三角形ABG和ADF全等中，證明∠ABG=∠ADF時(shí)，用到的等角的補(bǔ)角相等，其他的都一樣．因此與（1）的結(jié)果完全一樣．
（3）按照（1）的思路，我們應(yīng)該通過(guò)全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)相等線段的轉(zhuǎn)換．就應(yīng)該在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．根據(jù)（1）的證法，我們可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE-BG=BE-DF．所以（1）的結(jié)論在（3）的條件下是不成立的．

（）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，

∵，，

∴≌，

∴，，

∴，

∴，

在和中，

，

∴≌，

∴，

∵，

∴．

（）（）中的結(jié)論仍成立，

證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，

∵，

，

∴，

在和中，

，

∴≌，

∴，,

∵，

∴，

∴即，

在和中，

，

∴≌，

∴，即．

（）結(jié)論不成立，應(yīng)當(dāng)是，

證明：在上截取使，

連接，

∵，，

∴，

∵在和中，

，

∴≌，

∴，，

∴，

，

∴，

在和中，

，

∴≌，

∴，

∵，

∴．