Question

幾何模型：條件：如圖，A、B是直線l同旁的兩個定點．
問題：在直線l上確定一點P，使PA+PB的值最小．
方法：作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B交l于點P，則PA+PB=A′P+PB=A′B，
由“兩點之間，線段最短”可知，點P即為所求的點．
模型應用：
（1）如圖1，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，P是AC上一動點．則PB+PE的最小值是

 

；
（2）如圖2，∠AOB=45°，P是∠AOB內一定點，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點，求△PQR周長的最小值．（要求畫出示意圖，寫出解題過程）

Answer 1

分析：（1）由于點B與D關于AC對稱，所以連接DE，與AC的交點即為P點．此時PB+PE=DE最小，而DE是直角△ADB的斜邊，由勾股定理可求出結果；
（2）設點P關于OA、OB對稱點分別為M、N，當點R、Q在MN上時，△PQR周長為PR+RQ+QP=MN，此時周長最小．

解答：解：（1）連接DE，與交于點P．
∵點B與D關于AC對稱，
∴DP=BP，
∴PB+PE=PD+PE=DE，
∵在直角△ADE中，∠DAE=90°，AD=2，AE=1，
∴DE=

5

．

（2）分別作點P關于OA、OB的對稱點M、N，連接OM、ON、MN，MN交OA、OB于點Q、R，連接PR、PQ，此時△PQR周長的最小值等于MN．
由軸對稱性質可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，
∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，
在Rt△MON中，MN=

OM2+ON2

=10

2

．
即△PQR周長的最小值等于10

2

．

點評：靈活運用對稱性解決最短距離問題．