Question

如圖，已知△OAB的頂點A（-6，0），B（0，2），O是坐標原點， 將△OAB繞點O按順時針旋轉90°，得到△ODC．

（1）寫出C點的坐標為          ;
（2）設過A，D，C三點的拋物線的解析式為，求其解析式?
（3）證明AB⊥BE．

Answer 1

（1）C（2，0），D（0，6）；（2）y=﹣x²﹣2x+6；（3）證明見解析．

試題分析：（1）根據旋轉的性質，可得OC=OB，OD=OA，進而可得C、D兩點的坐標；
（2）由于拋物線過點A（﹣6，0），C（2，0），所以設拋物線的解析式為y=a（x+6）（x﹣2）（a≠0），再將D（0，6）代入，求出a的值，得出拋物線的解析式，然后利用配方法求出頂點E的坐標；
（3）已知A、B、E三點的坐標，運用兩點間的距離公式計算得出AB²=40，BE²=40，AE²=80，則AB²+BE²=AE²，根據勾股定理的逆定理即可證明AB⊥BE．
試題解析：（1）∵將△OAB繞點O按順時針旋轉90°，得到△ODC，
∴△ODC≌△OAB，
∴OC=OB=2，OD=OA=6，
∴C（2，0），D（0，6）；
（2）∵拋物線過點A（﹣6，0），C（2，0），
∴可設拋物線的解析式為y=a（x+6）（x﹣2）（a≠0），
∵D（0，6）在拋物線上，
∴6=﹣12a，
解得a=﹣，
∴拋物線的解析式為y=﹣（x+6）（x﹣2），即y=﹣x²﹣2x+6；
（3）∵y=﹣x²﹣2x+6=﹣（x+2）²+8，
∴頂點E的坐標為（﹣2，8），
連接AE．

∵A（﹣6，0），B（0，2），E（﹣2，8），
∴AB²=6²+2²=40，BE²=（﹣2﹣0）²+（8﹣2）²=40，AE²=（﹣2+6）²+（8﹣0）²=80，
∴AB²+BE²=AE²，
∴AB⊥BE．．