Question

【題目】已知拋物線的頂點在軸上．

（1）若點是拋物線最低點，且落在軸正半軸上，直接寫出的取值范圍；

（2），是拋物線上兩點，若，則；若，則，且當的絕對值為4時，為等腰直角三角形（其中）．

①求拋物線的解析式；

②設中點為，若，求點縱坐標的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②當時，最小值是2．

【解析】

（1）由頂點是拋物線最低點，可判斷拋物線開口向上，可判定a的符號；根據拋物線的解析式確定頂點坐標，根據頂點A落在軸正半軸上，可判定h、k的取值范圍；
（2）①由已知可得當x＜0時，y隨x的增大而減小，當x＞0時，y隨x的增大而增大，所以對稱軸為軸，即可確定拋物線為y=ax2，再由△APQ為等腰直角三角形和y1的絕對值為4，得到a=；
②設N點坐標為（x，y），PQ2=8y+4y2-（x1x2+4）2+4≥36，所以4（y+1）2≥36+（x1x2+4）2，當x1x2=-4時，y有最小值，y+1≥3，y≥2， 即N點縱坐標最小值為2．

（1）∵拋物線有最低點，
∴a＞0，
∵拋物線的頂點坐標為（h，k）在x軸正半軸上，
∴h＞0，k=0；

（2）①∵當時，；則，

∴當x＜0時，y隨x的增大而減小，

當時，；則

∴當x＞0時，y隨x的增大而增大，

∴拋物線的對稱軸是軸，且開口向上

又頂點在軸上，所以頂點是原點

∴拋物線的解析式為，且

當是等腰直角三角形，時，，

又為頂點，所以點關于拋物線對稱軸軸對稱．

，

∴

設交軸于點，則，

∴點中一個坐標為，另一個為

把代入，解得

∴拋物線的解析式為

②PQ2=（x1-x2）2+（y1-y2）2≥36，
∵y1=x12，y2=x22，
∴PQ2=（x1-x2）2+（y1-y2）2

=（x1-x2）2+（x12-x22）2

=（x1-x2）2+（x12+x22）2-x12x22

=x12+x22-2x1x2+（x12+x22）2-x12x22

=4（y1+y2）+（y1+y2）2-（x12x22+8x1x2）

=4（y1+y2）+（y1+y2）2-（x12x22+8x1x2+16-16）

=4（y1+y2）+（y1+y2）2-（x1x2+4）2+4
∵設N點坐標為（x，y），N是PQ的中點，

∴ ＞0
∴2x=x1+x2，2y=y1+y2，
∴PQ2=8y+4y2-（x1x2+4）2+4≥36，
∴4（y+1）2≥36+（x1x2+4）2，

∵y+1＞0
當x1x2=-4時，y有最小值，
∴y+1≥3，
∴y≥2，
∴點N縱坐標的最小值為2