Question

【題目】如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，動點F，E分別以相同的速度從D，C兩點同時出發向C和B運動（任何一個點到達即停止），過點P作PM∥CD交BC于M點，PN∥BC交CD于N點，連接MN，在運動過程中，則下列結論：①△ABE≌△BCF；②AE=BF；③AE⊥BF；④CF2=PEBF；⑤線段MN的最小值為．其中正確的結論有（　　）

A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個

Answer 1

【答案】D

【解析】試題分析：如圖，

∵動點F，E的速度相同，

∴DF＝CE，

又∵CD＝BC，

∴CF＝BE，

在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（SAS），故①正確；

∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，故②正確；

∵∠BAE＋∠BEA＝90°，

∴∠CBF＋∠BEA＝90°，

∴∠APB＝90°，故③正確；

在△BPE和△BCF中，

∵∠BPE＝∠BCF，∠PBE＝∠CBF，

∴△BPE∽△BCF，

∴，

∴CFBE＝PEBF，

∵CF＝BE，

∴CF2＝PEBF，故④正確；

∵點P在運動中保持∠APB＝90°，

∴點P的路徑是一段以AB為直徑的弧，

設AB的中點為G，連接CG交弧于點P，此時CP的長度最小，

在Rt△BCG中，CG＝＝＝，

∵PG＝AB＝，

∴CP＝CG﹣PG＝﹣＝，

即線段CP的最小值為，故⑤正確；

綜上可知正確的有5個，

故選D．