Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，⊙A的半徑為3，A點的坐標為（2，0），C、E分別是⊙A與y軸、x軸的交點，過C點作⊙A的切線BC交x軸于點B．
（1）求直線BC的解析式；
（2）若拋物線y=ax²+bx+c經過B、A兩點，且頂點在直線BC上，求此拋物線的頂點的坐標；
（3）在x軸上是否存在一點P，使△PCE和△CBE相似？若存在，請你求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）連接AC，由直線BC為圓A的切線，得到CA⊥CB，
又∵⊙A的半徑為3，
∴AC=3，
又∵A點的坐標為（2，0），即OA=2，
在Rt△AOC中，根據勾股定理得：OC=

AC2-OA2

=

5

，
∴點C坐標為（0，

5

），
又∠OCB+∠OCA=90°，∠OCA+∠OAC=90°，
∴∠OCB=∠OAC，又∠COB=∠AOC=90°，
∴△BOC∽△COA，
∴

BO

OC

=

OC

OA

，又OC=

5

，OA=2，
∴BO=

5

2

，即B（-

5

2

，0），
設直線BC的方程為y=kx+b，
把B和C的坐標代入得：

b= 5 - 5 2 k+b=0

，
解得：k=

2 5

5

，b=

5

，
則直線BC的方程為y=

2 5

5

x+

5

；

（2）拋物線y=ax²+bx+c經過B、A兩點，且頂點在直線BC上，
∵A（2，0），B（-

5

2

，0），
∴

2- 5 2

2

=-

1

4

，
∴對稱軸為直線x=-

1

4

，即頂點橫坐標為-

1

4

，
把x=-

1

4

代入y=

2 5

5

x+

5

得：y=

9 5

10

，
則此拋物線的頂點的坐標為（-

1

4

，

9 5

10

）；

（3）x軸上存在一點P，使△PCE和△CBE相似，理由如下：
∵AE=3，OA=2，
∴OE=1，
在Rt△OCE中，根據勾股定理得：CE=

OC2+OE2

=

6

，
∵OB=

5

2

，OE=1，
∴BE=1.5，
假設存在這樣的點P，
當點P在點B左側時，如圖所示：

若△BCE∽△CPE，則有

CE

PE

=

BE

CE

，
即

6

PE

=

1.5

6

，
解得：PE=4，
則點P的坐標為（-5，0）；
當點P在點B右側時，要使△CBE∽△PCE，則有∠BEC=∠CEP，
∴∠BEC=∠CEP=90°，與題設矛盾，
∴不存在這樣的P滿足題意，
綜上，滿足題意的P點有1個，P的坐標為（-5，0）．