Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，直線MN經過點C，過點A作直線MN的垂線，垂足為點D，且AC平分∠BAD．

（1）求證：直線MN是⊙O的切線；
（2）若CD=4，AC=5，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，

∵AC平分∠BAD，∴∠CAB=∠DAC，

∴∠OCA=∠DAC，

∴OC∥AD．

∵AD⊥MN，∴OC⊥MN．

∵OC為半徑，∴MN是⊙O切線．

（2）解：∵∠ADC=90°，AC=5，DC=4，

∴AD=3，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ADC=∠ACB，

又∵∠CAB=∠DAC，

∴△ADC∽△ACB，

∴ = ，

∴ = ，

解得：AB= ，

即⊙O的直徑長為 ．

【解析】（1）直接利用角平分線的性質結合等腰三角形的性質得出OC⊥MN，進而得出答案；（2）利用相似三角形的判定與性質得出AB的長．