Question

【題目】（題文）如圖，在矩形ABCD中，點E是AD上的一個動點，連接BE，作點A關于BE的對稱點F，且點F落在矩形ABCD的內部，連結AF，BF，EF，過點F作GF⊥AF交AD于點G，設 =n.

（1）求證：AE=GE；

（2）當點F落在AC上時，用含n的代數式表示的值；

（3）若AD=4AB，且以點F，C，G為頂點的三角形是直角三角形，求n的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）n=16或 8+4.

【解析】試題（1）因為GF⊥AF，由對稱易得AE=EF，則由直角三角形的兩個銳角的和為90度，且等邊對等角，即可證明E是AG的中點；（2）可設AE=a，則AD=na，即需要用n或a表示出AB，由BE⊥AF和∠BAE==∠D=90°，可證明△ABE~△DAC ， 則，因為AB=DC，且DA，AE已知表示出來了，所以可求出AB，即可解答；（3）求以點F，C，G為頂點的三角形是直角三角形時的n，需要分類討論，一般分三個，∠FCG=90°，∠CFG=90°，∠CGF=90°；根據點F在矩形ABCD的內部就可排除∠FCG=90°，所以就以∠CFG=90°和∠CGF=90°進行分析解答．

試題解析：（1）證明：由對稱得AE=FE，∴∠EAF=∠EFA，∵GF⊥AE，∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°，∴∠FGA=∠EFG，∴EG=EF，∴AE=EG．

（2）解：設AE=a，則AD=na，當點F落在AC上時（如圖1），由對稱得BE⊥AF，∴∠ABE+∠BAC=90°，∵∠DAC+∠BAC=90°，∴∠ABE=∠DAC，又∵∠BAE=∠D=90°，∴△ABE~△DAC ，∴

∵AB=DC，∴AB2=AD·AE=na·a=na2，∵AB>0，∴AB=，∴= =，∴=．

（3）解：設AE=a，則AD=na，由AD=4AB，則AB=．

當點F落在線段BC上時（如圖2），EF=AE=AB=a，此時，∴n=4，∴當點F落在矩形外部時，n>4．

∵點F落在矩形的內部，點G在AD上，∴∠FCG<∠BCD，∴∠FCG<90°，若∠CFG=90°，則點F落在AC上，由（2）得=，∴n=16．

若∠CGF=90°（如圖3），則∠CGD+∠AGF=90°，∵∠FAG+∠AGF=90°，∴∠CGD=∠FAG=∠ABE，∵∠BAE=∠D=90°，∴△ABE~△DGC，∴ ，∴AB·DC=DG·AE，即．

解得 n=或n=＜4（不合題意，舍去），∴當n=16或 時，以點F，C，G為頂點的三角形是直角三角形．