Question

如圖正方形ABCD的邊長為2，AE=EB，線段MN的兩端點分別在CB、CD上滑動，且MN=1，當CM為何值時△AED與以M、N、C為頂點的三角形相似？

Answer 1

分析：根據AE=EB，△AED中AD=2AE，所以在△MNC中，分CM與AE和AD是對應邊兩種情況利用相似三角形對應邊成比例求出CM與CN的關系，然后利用勾股定理列式計算即可．

解答：解：∵AE=EB，∴AD=2AE，
又∵△AED與以M、N、C為頂點的三角形相似，
∴（1）CM與AD是對應邊時，CM=2CN，
∴CM²+CN²=MN²=1，
即CM²+

1

4

CM²=1，
解得CM=

2 5

5

；

（2）CM與AE是對應邊時，CM=

1

2

CN，
∴CM²+CN²=MN²=1，
即CM²+4CM²=1，
解得CM=

5

5

．
所以CM為

2 5

5

或

5

5

時，△AED與以M、N、C為頂點的三角形相似．

點評：本題主要利用相似三角形對應邊成比例的性質和直角三角形勾股定理求解．