Question

（2013•宜春模擬）課題：探求直角梯形剪開后進行旋轉、平移操作相關問題．如圖1，小明將一張直角梯形紙片沿虛線剪開，得到矩形和三角形兩張紙片，測得AB=10，AD=8．在進行如下操作時遇到了下面的幾個問題，請你幫助解決．
觀察計算：
（1）將△EFG的頂點G移到矩形的頂點B處，再將三角形繞點B順時針旋轉使E點落在CD邊上，此時，EF恰好經過點A（如圖2），請你求出AE和FG的長度．
探索發現：
（2）在（1）的條件下，小明先將三角形的邊EG和矩形邊AB重合，然后將△EFG沿直線BC向右平移，至F點與B重合時停止．在平移過程中，設G點平移的距離為x，兩紙片重疊部分面積為y，求在平移的整個過程中，y與x的函數關系式，并求當重疊部分面積為20時，平移距離x的值（如圖3）．
（3）在（2）的操作中，小明發現在平移過程中，雖然有時平移的距離不等，但兩紙片重疊的面積卻是相等的；而有時候平移的距離不等，兩紙片重疊部分的面積也不可能相等．請探索這兩種情況下重疊部分面積y的范圍（直接寫出結果）．

Answer 1

分析：（1）利用矩形的性質以及得出△BEM∽△FEB，求出即可；
（2）有兩種情況：①當0≤x≤8時，根據平行線分線段成比例定理求出BM的值，根據梯形的面積公式求出即可；②當8≤x≤20時，求出BM、CN的值，根據梯形的面積公式求出即可；把y=20代入解析式求x即可；
（3）當16≤y＜64時，平移的距離不等，兩紙片重疊的面積可能相等，0≤y＜16或y=64時，平移的距離不等，兩紙片重疊部分的面積也不可能相等．

解答：解：（1）如答題圖1，過B作BM⊥AE于M．
由AB=BE=10，BC=8，
∴CE=6．
∴DE=4．
∴AE=4

5

．
由AB=BE，BM⊥AE，
∴EM=2

5

．
∴BM=4

5

．
由△BEM∽△FEB，
∴

FG

BE

=

BM

EM

，
∴FG=20．

（2）①
如答題圖2：∵矩形ABCD，∠EGF=90°，EG=AB，
∴AB∥CD∥EG，
∴

BM

EG

=

FB

FG

，
即

BM

10

=

20-x

20

，
∴BM=10-

1

2

x，
∴y=

1

2

（BM+EG）×BG=

1

2

•（10-

1

2

x+10）•x，
∴y=-

1

4

x²+10x（0≤x≤8）；
②如圖2：與求BM的方法類似，得出

CN

10

=

20-(x-8)

20

，
∴CN=14-

1

2

x，
∴y=

1

2

（BM+CN）×BC=

1

2

•（10-

1

2

x+14-

1

2

x）•8=-4x+96（8＜x≤20）；
綜合上述：y與x的關系式是y=

- 1 4 x2+10x(0≤x≤8) -4x+96(8＜x≤20)

，
把y=20代入y=-

1

4

x²+10x得：-

1

4

x²+10x=20，
解得：x₁=20+8

5

＞8（舍去），x₂=20-8

5

；
把y=20代入y=-4x+96得：-4x+96=20，
解得：x=19，
綜上所述：當y=20時，x=20-8

5

或x=19；

（3）當0≤x≤8時，
y=-

1

4

x2+10x=-

1

4

(x-20)2+100，
頂點為（20，100），
∴當0≤x≤8時，0≤y≤64．
當8＜x≤20時，y=-4x+96，16≤y＜64．
∴當16≤y＜64時，平移的距離不等，兩紙片重疊的面積y可能相等．
當0≤y＜16或y=64時，平移的距離不等，兩紙片重疊部分的面積也不可能相等．

點評：此題主要考查了幾何變換綜合題，本題以動態（平移和旋轉）的形式考查了分類討論的思想、函數的知識和直角三角形，具有很強的綜合性．