Question

【題目】已知：矩形ABCD中AD＞AB，O是對角線的交點，過O任作一直線分別交BC、AD于點M、N（如圖①）.

（1）求證：BM=DN；

（2）如圖②，四邊形AMNE是由四邊形CMND沿MN翻折得到的，連接CN，求證：四邊形AMCN是菱形；

（3）在（2）的條件下，若△CDN的面積與△CMN的面積比為1：3，求 的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）＝ .

【解析】（1）連接BD，則BD過點O．

∵AD∥BC， ∴∠OBM=∠ODN．

又OB=OD， ∠BOM=∠DON， ∴△OBM≌△ODN． ∴BM=DN；

（2）∵矩形ABCD， ∴AD∥BC，AD=BC． 又BM=DN，

∴AN=CM． ∴四邊形AMCN是平行四邊形．

由翻折得，AM=CM， ∴四邊形AMCN是菱形；

（3）∵

又：=1：3

∴DN︰CM=1︰3

設DN=k，則CN=CM=3k．

過N作NG⊥MC于點G，則CG=DN=k，MG=CM-CG=2k．

NG=

∴MN=

∴