Question

（2012•瀘州）如圖，二次函數y=-

1

2

x²+mx+m+

1

2

的圖象與x軸相交于點A、B（點A在點B的左側），與y軸相交于點C，頂點D在第一象限．過點D作x軸的垂線，垂足為H．
（1）當m=

3

2

時，求tan∠ADH的值；
（2）當60°≤∠ADB≤90°時，求m的變化范圍；
（3）設△BCD和△ABC的面積分別為S₁、S₂，且滿足S₁=S₂，求點D到直線BC的距離．

Answer 1

分析：（1）先將m=

3

2

代入y=-

1

2

x²+mx+m+

1

2

，運用配方法改寫成頂點式，求出頂點D，與x軸的交點A與B的坐標，得到DH，AH的長度，再根據正切函數的定義即可求出tan∠ADH的值；
（2）先將y=-

1

2

x²+mx+m+

1

2

運用配方法改寫成頂點式，求出頂點D，與x軸的交點A與B的坐標，得到DH，AH的長度，再由拋物線的對稱性可知當60°≤∠ADB≤90°時，30°≤∠ADH≤45°，然后根據30°，45°角的正切函數值及銳角三角函數的增減性即可求出m的變化范圍；
（3）設DH與BC交于點M，則點M的橫坐標為m．先運用待定系數法求出直線BC的解析式，則可用含m的代數式表示點M的坐標，再根據S_△DBC=S_△ABC求出m的值，從而得出A（-1，0），B（5，0），C（0，

5

2

），S_△ABC=

1

2

×6×

5

2

=

15

2

．設點D到直線BC的距離為d，根據S_△DBC=

1

2

BC•d=

15

2

，即可求出d的值．

解答：解：（1）∵當m=

3

2

時，y=-

1

2

x²+

3

2

x+2=-

1

2

（x-

3

2

）²+

25

8

，
∴頂點D（

3

2

，

25

8

），與x軸的交點A（-1，0），B（4，0），
∴DH=

25

8

，AH=

3

2

-（-1）=

5

2

，
∴tan∠ADH=

AH

DH

=

5 2

25 8

=

4

5

；

（2）y=-

1

2

x²+mx+m+

1

2

=-

1

2

（x-m）²+

(m+1)2

2

，
∴頂點D（m，

(m+1)2

2

），
令y=-

1

2

x²+mx+m+

1

2

=0，解得：x=-1或2m+1
則與x軸的交點A（-1，0），B（2m+1，0），
∴DH=

(m+1)2

2

，AH=m-（-1）=m+1，
∴tan∠ADH=

m+1

(m+1)2 2

=

2

m+1

．
當60°≤∠ADB≤90°時，由對稱性得30°≤∠ADH≤45°，
∴當∠ADH=30°時，

2

m+1

=

3

3

，
∴m=2

3

-1，
當∠ADH=45°時，

2

m+1

=1，
∴m=1，
∴1≤m≤2

3

-1；

（3）設DH與BC交于點M，則點M的橫坐標為m．
設過點B（2m+1，0），C（0，m+

1

2

）的直線解析式為；y=kx+b，
則

(2m+1)k+b=0 b=m+ 1 2

，
解得

k=- 1 2 b=m+ 1 2

，
即y=-

1

2

x+m+

1

2

．
當x=m時，y=-

1

2

m+m+

1

2

=

m+1

2

，
∴M（m，

m+1

2

）．
∴DM=

(m+1)2

2

-

m+1

2

=

m(m+1)

2

，AB=（2m+1）-（-1）=2m+2，
又，∵S_△DBC=S_△ABC，
∴

m(m+1)

2

•（2m+1）=（2m+2）•（m+

1

2

），
又∵拋物線的頂點D在第一象限，
∴m＞0，解得m=2．
當m=2時，A（-1，0），B（5，0），C（0，

5

2

），
∴BC=

52+( 5 2 )2

=

5 5

2

，
∴S_△ABC=

1

2

×6×

5

2

=

15

2

．
設點D到直線BC的距離為d．
∵S_△DBC=

1

2

BC•d，
∴

1

2

×

5 5

2

•d=

15

2

，
∴d=

6 5

5

．
答：點D到直線BC的距離為

6 5

5

．

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數法求函數的解析式，拋物線的頂點坐標公式，正切函數的定義，三角形的面積以及點到直線的距離的求法，綜合性較強，有一定難度．其中（3）正確表示S_△DBC=

1

2

DM•OB，從而根據S_△DBC=S_△ABC求出m的值是解題的關鍵．