Question

（2012•瀘州）如圖，邊長為a的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉30°得到正方形A′B′C′D′，圖中陰影部分的面積為（　　）

• A．

  1

  2

  a²
• B．

  3

  3

  a²
• C．（1-

  3

  4

  ）a²
• D．（1-

  3

  3

  ）a²

Answer 1

分析：設B′C′與CD交于點E．由于陰影部分的面積=S_{正方形ABCD}-S_{四邊形AB′ED}，又S_{正方形ABCD}=a ²，所以關鍵是求S_{四邊形AB′ED}．為此，連接AE．根據HL易證△AB′E≌△ADE，得出∠B′AE=∠DAE=30°．在直角△ADE中，由正切的定義得出DE=AD•tan∠DAE=

3

3

a．再利用三角形的面積公式求出S_{四邊形AB′ED}=2S_△ADE．

解答：解：設B′C′與CD交于點E，連接AE．
在△AB′E與△ADE中，∠AB′E=∠ADE=90°，

AE=AE AB′=AD

，
∴△AB′E≌△ADE（HL），
∴∠B′AE=∠DAE．
∵∠BAB′=30°，∠BAD=90°，
∴∠B′AE=∠DAE=30°，
∴DE=AD•tan∠DAE=

3

3

a．
∴S_{四邊形AB′ED}=2S_△ADE=2×

1

2

×a×

3

3

a=

3

3

a²．
∴陰影部分的面積=S_{正方形ABCD}-S_{四邊形AB′ED}=（1-

3

3

）a ²．
故選：D．

點評：本題主要考查了正方形、旋轉的性質，直角三角形的判定及性質，圖形的面積以及三角函數等知識，綜合性較強，有一定難度．