Question

【題目】等邊△ABC中，AO是BC邊上的高，D為AO上一點，以CD為一邊，在CD下方作等邊△CDE，連接BE．

（1）求證：△ACD≌△BCE
（2）過點C作CH⊥BE，交BE的延長線于H，若BC=8，求CH的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=600 ， ∠DCE=600;
∴∠ACD+∠BCD=∠ACB=600 ，
∠BCE+∠BCD=∠DCE=600 ，
∴∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS） 。
（2）解：∵△ABC是等邊三角形，AO是BC邊上的高
∴∠BAC=600 ， 且AO平分∠BAC；
∴∠CAD= = =300;
∵△ACD≌△BCE
∴∠CAD=∠CBE
∴∠CBE=300
又∵CH⊥BE，BC=8
∴在Rt△BCH中，CH= = =4
即CH=4
【解析】（1）根據等邊三角形的性質得出CA=CB，CD=CE，∠ACB=600 ， ∠DCE=600;根據角的和差得出∠ACD=∠BCE ，進而利用SAS判斷出△ACD≌△BCE ；
（2）根據等邊三角形的性質及三線合一得出∠BAC=600 ， 且AO平分∠BAC；即∠CAD= ∠ B A C = × 60 ° =300; 根據全等三角形對應角相等得出∠CAD=∠CBE=30° ，然后根據含30°角的直角三角形的邊之間的關系得出CH= B C = × 8 =4 。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰三角形的性質的相關知識，掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角），以及對含30度角的直角三角形的理解，了解在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．