Question

【題目】已知，如圖，在 ABC 中， ACB 90， B 60， BC 2 ，MON 30．

（1）如圖 1， MON 的邊 MO ⊥ AB ，邊 ON 過點 C ，求 AO 的長；

（2）如圖 2，將圖 1 中的 MON 向右平移，MON 的兩邊分別與 ABC 的邊 AC 、BC

相交于點 E 、 F ，連接 EF ，若 OEF 是直角三角形，求 AO 的長；

（3）在（2）的條件下，MON 與 ABC 重疊部分面積是否存在最大值，若存在，求出 最大值，若不存在，請說明理由．

圖 1 圖 2 備用圖

Answer 1

【答案】(1)2;(2) 或;(3)見解析.

【解析】

（1）先證△BOC是等邊三角形，得BO=2，在中，，，得AB=4．所以AO=AB-BO=2；

（2）分兩種情況①∠OEF=90°，設AO=,根據題意得；②∠OFE=90°

設AO=,根據題意得；

（3）設AO=,根據題意得OB=，，根據題意得：，即 ，求二次函數的最值可得.

（1）∴∠MON=30°,MO⊥AB,

∴∠COB=60°,

∵∠B=60°,

∴△BOC是等邊三角形,

∵BC=2,

∴BO=2,

在中，，，，

∴AB=4．

∴ AO=AB-BO=2.

（2）①∠OEF=90°

設AO=,根據題意得OB=，，,

∴∴

②∠OFE=90°

設AO=,根據題意得OB=，，,

∴

∴

∴是直角三角形時，AO長為或

（3）設AO=,根據題意得OB=，，

設重疊部分的面積為S,根據題意得：

∴

整理得：

∵,

∴有最大值

∴當時，最大值