Question

【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,D是邊BC上(除B,C外)的任意一點,∠ADE=60°,且DE交∠ACF的平分線CE于點E.求證:

（1）∠1=∠2;
（2）AD=DE.

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△ABC是等邊三角形,∠ADE=60°,
∴∠ADE=∠B=60°.
又∵∠ADC=∠2+∠ADE=∠1+∠B,∴∠1=∠2
（2）證明：如圖,在AB上取一點M,使BM=BD,連接MD.

∵△ABC是等邊三角形,
∴∠B=60°.
∴△BMD是等邊三角形,
∴∠BMD=60°，
∴∠AMD=120°.
∵CE是∠ACF的平分線,
∴∠ECA=60°,
∴∠DCE=120°.
∴∠AMD=∠DCE=120°，
∵ AB=BC ,BM=BD,
∵BA-BM=BC-BD,
∴MA=CD.
在△AMD和△DCE中,
∴△AMD≌△DCE(ASA).
∴AD=DE 。
【解析】 (1)根據等邊三角形的性質及已知得出∠ADE=∠B=60°，根據三角形的外角定理及角的和差得出∠ADC=∠2+∠ADE=∠1+∠B,從而得出∠1=∠2 ；
（2）根據等邊三角形的性質得出∠B=60°，根據有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形得出△BMD是等邊三角形 ，等邊三角形三個內角都是60°及鄰補角的定義得出∠AMD=120°，根據角平分線的定義及角的和差得出∠DCE=120°，從而得出∠AMD=∠DCE=120°，根據等式的性質得出MA=CD，從而利用ASA判斷出△AMD≌△DCE，利用全等三角形對應邊相等得出AD=DE。