Question

【題目】如圖，二次函數y=x2+bx+c的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，頂點為點P，經過B、C兩點的直線為y=﹣x+3．

（1）求該二次函數的關系式；

（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點M，使以點C、P、M為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）連接AC，在x軸上是否存在點Q，使以點P、B、Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）二次函數解析式為y=x2-4x+3．（2）M1（2，7），M2（2，2-1），M3（2， ），M4（2，-2-1）；（3）存在點Q使得以點P、B、Q為頂點的三角形與△ABC相似．點Q坐標（0，0）或（，0）．

【解析】試題分析：（1）先求出B、C坐標，代入拋物線解析式解方程組即可解決問題．

（2）分三種情形討論即可①CM=CP，②PM=PC，③MP=MC，畫出圖形即可解決問題．

（3）分兩種情形討論即可①時，△ABC∽△PBQ1，列出方程即可解決．②當時，△ABC∽△Q2BP，列出方程即可解決．

試題解析：（1）∵直線y=-x+3經過B、C兩點，

∴B（3，0），C（0，3），

∵二次函數y=x2+bx+c圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，

∴解得，

∴二次函數解析式為y=x2-4x+3．

（2）∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，

∴該拋物線的對稱軸為直線x=2，頂點坐標為P（2，-1），

∴如圖1所示，滿足條件的點M分別為

M1（2，7），M2（2，2-1），M3（2， ），M4（2，-2-1）．

（3）由（1）（2）得A（1，0），BP=，BC=3，AB=2，

如圖2所示，連接BP，∠CBA=∠ABP=45°，

①時，△ABC∽△PBQ1，

此時，

∴BQ1=3，

∴Q1（0，0）．

②當時，△ABC∽△Q2BP，

此時， ，

∴BQ2=，

∴Q2（，0），

綜上所述，存在點Q使得以點P、B、Q為頂點的三角形與△ABC相似．點Q坐標（0，0）或（，0）．