Question

【題目】如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，△COD關于CD的對稱圖形為△CED．

（1）求證：四邊形OCED是菱形；
（2）連接AE，若AB=6cm，BC= cm．
①求sin∠EAD的值；
②若點P為線段AE上一動點（不與點A重合），連接OP，一動點Q從點O出發，以1cm/s的速度沿線段OP勻速運動到點P，再以1.5cm/s的速度沿線段PA勻速運動到點A，到達點A后停止運動，當點Q沿上述路線運動到點A所需要的時間最短時，求AP的長和點Q走完全程所需的時間．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是矩形．

∴OD=OB=OC=OA，

∵△EDC和△ODC關于CD對稱，

∴DE=DO，CE=CO，

∴DE=EC=CO=OD，

∴四邊形CODE是菱形．

（2）

解：①設AE交CD于K．

∵四邊形CODE是菱形，

∴DE∥AC，DE=OC=OA，

∴ = =

∵AB=CD=6，

∴DK=2，CK=4，

在Rt△ADK中，AK= = =3，

∴sin∠DAE= = ，

②作PF⊥AD于F．易知PF=APsin∠DAE= AP，

∵點Q的運動時間t= + =OP+ AP=OP+PF，

∴當O、P、F共線時，OP+PF的值最小，此時OF是△ACD的中位線，

∴OF= CD=3．AF= AD= ，PF= DK=1，

∴AP= = ，

∴當點Q沿上述路線運動到點A所需要的時間最短時，AP的長為 ，點Q走完全程所需的時間為3s．

【解析】（1）只要證明四邊相等即可證明；（2）①設AE交CD于K．由DE∥AC，DE=OC=OA，推出 = = ，由AB=CD=6，可得DK=2，CK=4，在Rt△ADK中，AK= = =3，根據sin∠DAE= 計算即可解決問題；②作PF⊥AD于F．易知PF=APsin∠DAE= AP，因為點Q的運動時間t= + =OP+ AP=OP+PF，所以當O、P、F共線時，OP+PF的值最小，此時OF是△ACD的中位線，由此即可解決問題．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和矩形的性質的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等才能正確解答此題．