Question

【題目】如圖，AB為⊙O直徑，過⊙O外的點D作DE⊥OA于點E，射線DC切⊙O于點C、交AB的延長線于點P，連接AC交DE于點F，作CH⊥AB于點H．

（1）求證：∠D=2∠A；

（2）若HB=2，cosD=，請求出⊙O的半徑長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）5．

【解析】分析：（1）連接OC，根據切線的性質得到∠OCP=90°，根據垂直的定義得到∠DEP=90°，得到∠COB=∠D，根據圓周角定理證明；

（2）設⊙O的半徑為r，根據余弦的定義計算即可．

詳解：

（1）證明：連接OC，

∵射線DC切⊙O于點C， ∴∠OCP=90°
∵DE⊥AP，∴∠DEP=90°
∴∠P+∠D=90°，∠P+∠COB=90°
∴∠COB=∠D
∵OA=OC, ∴∠A=∠OCA
∵∠COB=∠A+∠OCA ∴∠COB=2∠A
∴∠D=2∠A
（2）解：由（1）可知：∠OCP=90°，∠COP=∠D，
∴cos∠COP=cos∠D=，
∵CH⊥OP，∴∠CHO=90°，
設⊙O的半徑為r，則OH=r﹣2．
在Rt△CHO中，cos∠HOC===，
∴r=5