Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為原點，點A（4，0），點B（0，3），把△ABO繞點B逆時針旋轉，得△A′BO′，點A，O旋轉后的對應點為A′，O′，記旋轉角為α．

（1）如圖①，若α=90°，求AA′的長；

（2）如圖②，若α=120°，求點O′的坐標；

（3）在（2）的條件下，邊OA上 的一點P旋轉后的對應點為P′，當O′P+BP′取得最小值時，求點P′的坐標（直接寫出結果即可）

Answer 1

【答案】(1)、5；(2)、()；(3)、(，)

【解析】試題分析：(1)、如圖①，先利用勾股定理計算出AB=5，再根據旋轉的性質得BA=BA′，∠ABA′=90°，則可判定△ABA′為等腰直角三角形，然后根據等腰直角三角形的性質求AA′的長；(2)、作O′H⊥y軸于H，如圖②，利用旋轉的性質得BO=BO′=3，∠OBO′=120°，則∠HBO′=60°，再在Rt△BHO′中利用含30度的直角三角形三邊的關系可計算出BH和O′H的長，然后利用坐標的表示方法寫出O′點的坐標；(3)、由旋轉的性質得BP=BP′，則O′P+BP′=O′P+BP，作B點關于x軸的對稱點C，連結O′C交x軸于P點，如圖②，易得O′P+BP=O′C，利用兩點之間線段最短可判斷此時O′P+BP的值最小，接著利用待定系數法求出直線O′C的解析式為y=x﹣3，從而得到P（，0），則O′P′=OP=，作P′D⊥O′H于D，然后確定∠DP′O′=30°后利用含30度的直角三角形三邊的關系可計算出P′D和DO′的長，從而可得到P′點的坐標．

試題解析：(1)、如圖①， ∵點A（4，0），點B（0，3）， ∴OA=4，OB=3， ∴AB==5，

∵△ABO繞點B逆時針旋轉90°，得△A′BO′， ∴BA=BA′，∠ABA′=90°，

∴△ABA′為等腰直角三角形， ∴AA′=BA=5；

(2)、作O′H⊥y軸于H，如圖②， ∵△ABO繞點B逆時針旋轉120°，得△A′BO′，

∴BO=BO′=3，∠OBO′=120°， ∴∠HBO′=60°， 在Rt△BHO′中，∵∠BO′H=90°﹣∠HBO′=30°，

∴BH=BO′=，O′H=BH=， ∴OH=OB+BH=3+， ∴O′點的坐標為（）；

（3）∵△ABO繞點B逆時針旋轉120°，得△A′BO′，點P的對應點為P′， ∴BP=BP′，

∴O′P+BP′=O′P+BP， 作B點關于x軸的對稱點C，連結O′C交x軸于P點，如圖②，

則O′P+BP=O′P+PC=O′C，此時O′P+BP的值最小， ∵點C與點B關于x軸對稱， ∴C（0，﹣3），

設直線O′C的解析式為y=kx+b，

把O′（），C（0，﹣3）代入得，解得，

∴直線O′C的解析式為y=x﹣3， 當y=0時，x﹣3=0，解得x=，則P（，0），

∴OP=， ∴O′P′=OP=， 作P′D⊥O′H于D，

∵∠BO′A=∠BOA=90°，∠BO′H=30°， ∴∠DP′O′=30°，

∴O′D=O′P′=，P′D=， ∴DH=O′H﹣O′，

∴P′點的坐標為（，）．