Question

【題目】已知：如圖，AB是⊙O直徑，OD⊥弦BC于點F，且交⊙O于點E，若∠AEC＝∠ODB．

（1）求證：BD是⊙O的切線；

（2）當AB＝10，BC＝8時，求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）從切線的判定為目標，來求BD⊥AB，連接AC通過相似來證得；

（2）通過已知條件和第一步求得的三角形相似求得BD的長度．

（1）證明：連接AC，

∵AB是⊙O的直徑

∴∠ACB＝90°

又∵OD⊥BC

∴AC∥OE

∴∠CAB＝∠EOB

由對的圓周角相等

∴∠AEC＝∠ABC

又∵∠AEC＝∠ODB

∴∠ODB＝∠OBC

∴△DBF∽△OBD

∴∠OBD＝90°

即BD⊥AB

又∵AB是直徑

∴BD是⊙O的切線．

（2）∵OD⊥弦BC于點F，且點O圓心，

∴BF＝FC

∴BF＝4

由題意OB是半徑即為5

∴在直角三角形OBF中OF為3

由以上（1）得到△DBF∽△OBD

∴

即得BD＝．