Question

【題目】如圖，邊長一定的正方形ABCD，Q是CD上一動點，AQ交BD于點M，過M作MN⊥AQ交BC于N點，作NP⊥BD于點P，連接NQ，下列結論：①AM=MN；

②MP=BD；③BN+DQ=NQ；④為定值。其中一定成立的是_______.

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

①如圖1，作AU⊥NQ于U，交BD于H，連接AN，AC，

∵∠AMN=∠ABC=90°，

∴A，B，N，M四點共圓，

∴∠NAM=∠DBC=45°,∠ANM=∠ABD=45°，

∴∠ANM=∠NAM=45°，

∴AM=MN；

②由同角的余角相等知，∠HAM=∠PMN，

∴Rt△AHM≌Rt△MPN，

∴MP=AH=AC=BD；

③∵∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°，

∴在∠NAM作AU=AB=AD，且使∠BAN=∠NAU，∠DAQ=∠QAU，

∴△ABN≌△UAN,△DAQ≌△UAQ，有∠UAN=∠UAQ，BN=NU，DQ=UQ，

∴點U在NQ上，有BN+DQ=QU+UN=NQ；

④如圖2，作MS⊥AB，垂足為S，作MW⊥BC，垂足為W，點M是對角線BD上的點，

∴四邊形SMWB是正方形，有MS=MW=BS=BW，

∴△AMS≌△NMW

∴AS=NW，

∴AB+BN=SB+BW=2BW，

∵BW:BM=1: ，

∴.

故答案為：①②③④