Question

【題目】如圖，AB是⊙O的弦，AB＝4，點P在上運動（點P不與點A、B重合），且∠APB＝30°，設圖中陰影部分的面積為y．

（1）⊙O的半徑為 ；

（2）若點P到直線AB的距離為x，求y關于x的函數表達式，并直接寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）y=2x＋π－4 (0＜x≤2＋4)

【解析】

（1）根據圓周角定理得到△AOB是等邊三角形，求出⊙O的半徑；
（2）過點O作OH⊥AB，垂足為H,先求出AH=BH=AB=2，再利用勾股定理得出OH的值，進而求解.

（1）解：（1）∵∠APB=30°，
∴∠AOB=60°，又OA=OB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴⊙O的半徑是4；

（2）解：過點O作OH⊥AB，垂足為H

則∠OHA＝∠OHB＝90°

∵∠APB＝30°

∴∠AOB＝2∠APB＝60°

∵OA=OB，OH⊥AB

∴AH=BH=AB=2

在Rt△AHO中，∠AHO＝90°，AO＝4，AH＝2

∴OH＝＝2

∴y＝×16 π－×4×2＋×4×x

=2x＋π－4 (0＜x≤2＋4).